Уравнение Бернулли для реальной жидкости

Пусть реальная жидкость в сечении 1 характеризуется теми же состав-

2

z p1   w1

ляющими полного напора, что и идеальная: 1 + r g  + 2g  ; к сечению 2 этот  на-

2

z p2   w2

пор

2 + r g + 2g

будет для реальной жидкости меньше, нежели для идеальной,

поскольку часть энергии при этом будет затрачена на преодоление сил  трения

— происходит рассеяние энергии, часть ее переходит в теплоту. В результате

w

w

2

p

2

z p1       1  z      2       2

для реальной жидкости

1 + r g + 2g ñ

2 + r g  + 2g  . Чтобы вернуться к записи

в форме равенства, необходимо для сечения 2 ввести дополнительное слагае- мое, выражающее упомянутые потери энергии. В терминах геометрической ин- терпретации говорят о потерянном напоре, обозначаемом символом h п, и из- меряемом в м жидкостного столба. Таким образом, для реальной жидкости:

z1 +

 

p w2

1 + 1

r g 2g

 

p2   w2

2

= z2 + r g  + 2g

 

+ h п .                                (12)

 

Важно установить, за счет какой составляющей произошло уменьшение напора в сечении 2 при переходе от идеальной жидкости к реальной. Величина z 1 (как и z 2) — характеристика канала, она от свойств протекающих по нему жидкостей не зависит и потому на переход к реальной жидкости повлиять не может. Величина w 2 при заданном объемном расходе Q и постоянной форме поперечного сечения потока S так же не изменяется при переходе от идеальной жидкости к реальной, это следует из уравнения расхода w 2 = Q /S. Значит, при переходе от идеальной жидкости к реальной изменение претерпевает давление

2

w

р 2. Если сопоставить правые части уравнений (11) и (12), обозначив давление для идеальной жидкости p и , то при одинаковых левых частях уравнений имеем:

 

 

p

w

и        2

2

 2   2

  p2  2

z2 + r g + 2g

= z2 + r g  + 2g  + h п .                                (13)

Отсюда видим, что

2 = p2 + h

p

и

r g r g п , так что потери давления (напора) при  тече-

нии реальной жидкости от сечения 1 к сечению 2 составляют:

h п =

2 - p2

p

u

r g

= Dр п

r g

 

.                                              (14)

 

 

Расчет этой величины является одной из важнейших проблем гидродина- мики, например, знание h п необходимо при расчете напорных устройств (насо- сов и т.п.), определении основных параметров течения в трубопроводах, выборе режимных характеристик при осуществлении ряда процессов и т.д.

 

Уравнение Дарси – Вейсбаха

Для определения потерь напора h п при течении жидкости рассмотрим прямолинейный участок трубопровода длиной l с произвольной (но постоян- ной) формой поперечного сечения S; пусть периметр этого сечения равен П, причем канал заполнен движущейся жидкостью, так что речь идет о смоченном периметре.

Потеря давления Dpп обусловлена силой трения. Выразим эту силу через

потерянный напор h п:

Dр п × S  = h п × r  × g  × S  . Эта же сила может быть записана,

как произведение напряжения трения на стенках канала t Т ºt S  и поверхности трения — боковой поверхности канала П l: t S × П l. Таким образом, h п r gS = t S × П l, откуда:

 

h п =

П × l ×t S

S × r × g

 

.                                                      (15)

 

С учетом d Э =4 ×R Г преобразуем выражение (15) к более удобному для ин- женерных расчётов виду:

 

h п =

4 × l ×t S

d э × r × g

 

.                                                      (16)

 

Трудноопределимым в этом выражении является напряжение трения на стенках канала tS. Поэтому комплекс 4 t S /(pg ) принимается пропорциональным скоростному напору:

 

2

4 ×t S  = l w

r × g   Г

2g  .                                                     (17)

 

Это удобно, поскольку в каналах постоянного сечения скорость w не из- меняется по их длине; а при изменении сечения w легко пересчитывается по

уравнению расхода. Подставив значение рассматриваемого комплекса (17) в выражение (16), приводим к расчетному соотношению:

 

 

h п = l Г

l × w

 

,                                                   (19)

2

d э 2g

где lГ – коэффициент гидравлического сопротивления.

 

Выражение (19) называется уравнением равномерного движения, или чаще уравнением Дарси – Вейсбаха.