Тема 1.5. Центр тяжести плоских фигур

 Центр тяжести сечения и его координаты.

На любое тело действует сила притяжения земли, которую можно считать равной силе тяжести. Тело состоит из отдельных мелких частиц и на каждую такую частицу действует своя сила тяжести. Равнодействующая всех сил тяжести отдельных частиц эквивалентно силе тяжести всего тела.

Центр тяжести – называется геометрическая точка, неизменно связанная с твёрдым телом, через которую проходит равнодействующая всех сил тяжести, действующих на отдельные частицы тела.

Согласно этому определению координаты центра тяжести тела определяются по формулам.

X_C = ∑ G_К * X_К / G

Y_C = ∑ G_К * Y_К / G

Z_C = ∑ G_К * Z_К / G

X_C, Y_C, Z_C  - координаты центра тяжести всего тела

X_К, Y_К, Z_К – координаты центра тяжести каждой частицы тела

G – модуль силы тяжести всего тела.

G_К – модуль силы тяжести каждой частицы тела.

 

G = V * ɣ   

V – объем тела

ɣ - объемный вес

X_C = ∑ V_К * X_К / V

Y_C = ∑ V_К * Y_К / V

Z_C = ∑ V_К * Z_К / V

      Мы будем рассматривать необъёмные тела, а тонкие однородные пластинки, толщина которых значительно меньше двух других его размеров, и которые называются плоскими фигурами.

      Для таких пластинок находится центр тяжести площади фигуры по формулам.

X_C = ∑ A_К * X_К / A

Y_C = ∑ А_К * Y_К / A

x_K, y_K - координаты ц.т. каждой части фигуры

A_К - площадь сечения каждой части фигуры

A - площадь сечения всей фигуры

Для определения координат центра тяжести сложной фигуры, фигуру разбивают на простые элементы, расположение центров тяжести, которых известно:

 

49

 

 

1. Прямоугольник – центр тяжести лежит на пересечении диагоналей.

X_C = ½a

Y_C = ½в

С

О

а

½ а

x

y

 

y

O

x

C

r

2. Круг – центр тяжести круга находится в центре круга.

 

 

3. Прямоугольный треугольник – центр тяжести лежит на пересечении медиан. Расстояние от этой точки до каждой из сторон равно ⅓

С

x

О

y

a

⅔ a

⅓ а

соответствующей высоты.

 

50

Задача №1:

Определить координаты центра тяжести сложной фигуры составленной из простых геометрических форм.

    Y

              0.4м                                     0.6м

                                                      С₂

                     С₁

                                     С

                                                                   

                                                             С₃

  0       X_C = 0.45м                                  1.0м                                      X                                                                                 

                                                 

Решение:

1. Проводим оси координат

2. Разбиваем площадь сложной фигуры на простые части (два прямоугольника и один треугольник)

3. Определяем центр тяжести каждой части (для прямоугольника — пересечение диагоналей; для треугольника пересечение медиан)

4. Определяем координаты центра тяжести каждой части.

x₁ = ½ · 0,4м = 0,2м

y₁ = ½ · 0,6м = 0,3м

x₂ = 0,4м + ⅓ · 0,6м = 0,6м

y₂ = 0,3м + ⅓ · 0,3м = 0,4м

x₃ = 0,4м + ½ · 0,6м = 0,7м

y₃ = ½ · 0,3м = 0,15м

5. Определяем площадь сечения каждой части и площадь всей фигуры.

А₁ = 0,4м · 0,6м = 0,24м²

А₂ = ½ · 0,6м · 0,4м = 0,09м²

А₃ = 0,3м · 0,6м = 0,18м²

А = А₁ + А₂ + А₃ = 0,24м² + 0,09м² + 0,18м² = 0,51м²

6. Определяем координаты центра тяжести всей фигуры.

51

X_C = ∑A_K * X_K / A = A₁ * X₁ + A₂ * X₂ + A₃ * X₃ / A = 0,24м² * 0,2м + 0,09м² * 0,6м + 0,18м² * 0,7м / 0,51м² = 0,45м

 

Y_C = ∑ A_K * Y_K / A = A₁ * Y₁ + A₂ * Y₂ + A₃ * Y₃ / A = 0,24м² * 0,3м + 0,09м² * 0,4м + 0,18м² * 0,15м / 0,51м² = 0,26м

 

52

Варианты выполнения задач

53

54

55

56

57