Тема2.8. Устойчивость центрально-сжатых стержней

Типы задач при расчете на устойчивость.

1) проверка устойчивости — выполняется по условию устойчивости:

σ_расч = N_max / A ≤ φ · R_y

σ_расч = N_max / φ · A ≤ R_y

σ_расч – наибольшее значение нормального напряжения, которое возникает в поперечном сечении сжато-изогнутого стержня.

N_max – продольная сила которая зависит от влияния сил

А – площадь поперечного сечения

j – коэффициент продольного изгиба, который зависит от материала стержня и гибкости стержня, берется по СНиП

R_Y- расчётное сопротивление материала сжатию, берется по СНиП

2) подбор сечения – определяется требуемая площадь поперечного сечения стержню:

A_тр ≥ N_max / φ · R_y

В этой формуле две неизвестные величины A_тр и φ. Коэффициент продольного изгиба φ зависит от размеров и формы поперечного сечения, заранее не может быть определен. Ввиду этого подбор сечения проводят способом последовательных приближений.

 

Пример решения задач

             F = 260кн

 

79

300см     ν = 1

Для стальной колонны двутаврового поперечного се­чения с шарнирными опорами по концам длиной l = 300см, нагру­женной сжимающей силой F = 260кН, подобрать размеры попереч­ного сечения.

Дано:

Материал конструкции ст3 (с38/23); расчетное сопротивление стали R_y = 210МПа; шарнирное опирание по концам v = 1

Подобрать двутавр

Решение:

1) Тип задачи — подбор сечения

2) Приближение 1:

Примем в первом приближении φ = φ₁ = 0,5

3) Определим необходимую площадь поперечного сечения

A_тр ≥ N_max / φ · R_y

N_max = F = 260кН

A_тр = 260кН / 0,5 · 21кН/см² = 24,76 см²

 

Принимаем по сортаменту двутавр I 18а А = 25,4 см² > А_тр = 24,8см²

4) Вычисляем гибкость стержня:

λ = (ν · l)² / r_min

r_min — минимальный радиус инерции берем по сортаменту для I 18а

r_min = r_у = 2,12 см.

λ = 1 · 300 / 2,12= 141,5 ≈ 142

5) По гибкости λ = 142 по табл. СНиП 24.1 определяем коэффициент продольного изгиба.

φ = φ₂ =0,339

6) Определяем расчетное напряжение в колонне:

σ_расч = N_max / φ · A ≤ R_y

σ_расч = 260 / (0,37 · 25,4) = 29,3кН/см²

80

7) Сравниваем полученное напряжение с расчетным сопротивлением материала на сжатие

σ_расч = 29,3кН/см² > R_y = 21кН/см²

Так как расчетное напряженно больше расчетного сопротивления, то необходимо сделать, повторное приближение.

8) Приближение 2.

Принимаем φ = φ₃ = (φ + φ₂) / 2 = (0,5 + 0,34) / 2 = 0,42

9) Определяем необходимую площадь поперечного сечения:

A_тр ≥ N_max / φ · R_y = 260кН / 0,42 · 21кН/см² = 29,5 см²

Принимаем по сортаменту двутавр I 22 А = 30,6 см² > А_тр = = 29,5см²

10) Вычисляем гибкость стержня:

r_min = r_у = 2,27 см.

λ = 1 · 300 / 2,27= 132,2 ≈ 132

11) По гибкости λ = 132 по табл. СНиП 24.1 определяем коэффициент продольного изгиба.

φ = φ₄ =0,387

12) Определяем расчетное напряжение в колонне:

σ_расч = N_max / φ · A = 260 / (0,387·30,6) = 21,95кН/см² > R_y = = 21кН/см²

Условие устойчивости не выполняется и принятое сечение не пригодно к эксплуатации.

13) Приближение 3.

Принимаем по сортаменту двутавр I 22а А = 32,8см²

14) Вычисляем гибкость стержня:

r_min = r_у = 2,5см.

λ = 1 · 300 / 2,5= 120 → φ = 0,448

15) Определяем расчетное напряжение в колонне:

σ_расч = N_max / φ · A = 260 / (0,448·32,8) = 17,8кН/см² ≤ R_y = = 21кН/см²

Условие устойчивости выполняется, оставляем стержень из I 22а

 

81

Варианты выполнения задач

 

82

 

 

83

 

84

85

Литература