Теоретические сведения
Дифференциальное уравнение первого порядка, содержит: Что значит решить дифференциальное уравнение? Решить дифференциальное уравнение – это значит, найти множество функций , которые удовлетворяют данному уравнению. Такое множество функций называется общим решением дифференциального уравнения. Пример 1 Решить дифференциальное уравнение В первую очередь нужно переписать производную немного в другом виде. Вспоминаем обозначение производной: Итак, на первом этапе переписываем производную в нужном нам виде: Дифференциалы dy и dx – это полноправные множители. В рассматриваемом примере переменные легко разделяются перекидыванием множителей по правилу пропорции:
Переменные разделены. В левой части – только «игреки», в правой части – только «иксы». Следующий этап – интегрирование дифференциального уравнения. Всё просто, навешиваем интегралы на обе части:
Разумеется, интегралы нужно взять. В данном случае они табличные: Строго говоря, после того, как взяты интегралы, дифференциальное уравнение считается решенным. Единственное, у нас «игрек» не выражен через «икс», то есть решение представлено в неявном виде. Решение дифференциального уравнения в неявном виде называется общим интегралом дифференциального уравнения. То есть, – это общий интеграл. Пример 2 Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию По условию требуется найти частное решение ДУ, удовлетворяющее начальному условию. Такая постановка вопроса также называется задачей Коши. Сначала находим общее решение. Переписываем производную в нужном виде: Интегрируем уравнение: Общий интеграл получен. Теперь пробуем общий интеграл преобразовать в общее решение (выразить «игрек» в явном виде). Вспоминаем определение логарифма : . В данном случае: На завершающем этапе нужно найти частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию . Необходимо подобрать такое значение константы , чтобы выполнялось заданное начальное условие . В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» двойку: В общее решение подставляем найденное значение константы: Задание 1.Решить дифференциальные уравнения с разделёнными переменными.
2 Решить дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
3.Найти частное решение дифференциального уравнения (задача Коши). 1. 2. 3. 4. 5.
Популярное: Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (388)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |