Вычисление среднего арифметического, математического ожидания и дисперсии случайной дискретной величины (2 часа)

Теоретические сведения

Простая средняя арифметическая — равна отношению суммы индивидуальных значений признака к количеству признаков в совокупности

Пример 1. Бригада из 6 рабочих получает в месяц 3 3,2 3,3 3,5 3,8 3,1 тыс. руб.

Найти среднюю заработную плату.
Решение: (3 + 3,2 + 3,3 +3,5 + 3,8 + 3,1) / 6 = 3,32 тыс. руб.

Взвешенная средняя арифметическая — равна отношению (суммы произведений значения признака к частоте повторения данного признака) к (сумме частот всех признаков). Используется, когда варианты исследуемой совокупности встречаются неодинаковое количество раз.

Представим это в виде следующей формулы:

§ — цена за единицу продукции;

§ — количество (объем) продукции;

Пример 2. Найти среднюю заработную плату рабочих цеха за месяц

Средняя заработная плата может быть получена путем деления общей суммы заработной платы на общее число рабочих:

Ответ: 3,35 тыс.руб.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называ-ется сумма произведений ее возможных значений на соответствующие им вероятности:

М(Х) = х₁р₁ + х₂р₂ + … + х_пр_п .

Пример 3. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины, зная закон ее распределения:

Решение: По формуле находим математическое ожидание:

M (X) = 5*0,2 + 4*0,5 + 3*0,3 = 3,3.

Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

D (X) = M [X - M (X)]² .

Пример 4 . Найти дисперсию случайной величины X, которая задана следующим законом распределения:

Решение : По формуле находим математическое ожидание:

M (X) = 1*0,3 + 2*0,5 + 5*0,2 = 2,3.

Записываем все возможные значения квадрата отклонения:

[X₁ - M (X)]² = (1 - 2,3)² = 1,69;

[X₂ - M (X)]² = (2 - 2,3)² = 0,09;

[X₃ - M (X)]² = (5 - 2,3)² = 7,29.

Тогда закон распределения квадрата отклонения имеет следующий вид:

По формуле находим дисперсию: D (X) = 1,69*0,3 + 0,09*0,5 + 7,29*0,2 = 2,01.

Задание:

1. Задан закон распределения случайной величины Х (в первой строке таблицы указаны возможные значения величины Х, а во второй строке указаны вероятности p этих возможных значений). Найти:

1. математическое ожидание,

2. дисперсию,

3. построить многоугольник распределения.

1                                                                                     

2

3

4

5

6

2. Рассчитать средний возраст студентов в группе из 20 человек:

Тема 5.1 Численное интегрирование (4 часа)