Тема 3.3 Дифференциальные уравнения в частных производных
Тема 3.4 Ряды. Степенные ряды(2 часа) Теоретические сведения Перейдем к рассмотрению рядов, членами которых являются функции, в частности степенные функции с0+с1х+с2х2+....+cnxn+… .Такие ряды называются степенными, а числа с0,с1,с2,…,cn – коэффициентами степенного ряда. Пример: Найти область сходимости степенного ряда 1+х+х2+…+xn+… . Решение: Данный ряд можно рассматривать как геометрический ряд со знаменателем q=x, который сходиться при │q│=│x│<1. Отсюда -1<x<1, т.е. областью сходимости является интервал (-1;1). Структура области сходимости степенного ряда устанавливается с помощью теоремы Абеля. Теорема Абеля. 1) Если степенной ряд сходится при значении х=х0≠0(отличном от нуля) , то он сходится и, притом абсолютно, при всех значениях х таких, что │х│<│х0│. 2) Если степенной ряд расходится при х=х1, то он расходится при всех значениях х таких, что │х│>│х1│. Из теоремы Абеля следует , что существует такое число R ≥0, что при │х│<R ряд сходится, а при │x│>R-расходится. Число R получило название радиуса сходимости, а интервал (-R; R) –интервалом сходимости степенного ряда. На концах интервала сходимости, т.е. при х =- R и х = R, ряд может как сходится, так и расходится. данное выражение позволяет вычислить радиус сходимости числового ряда через его коэффициенты. Замечание . Следует отметить, что у некоторых рядов интервал сходимости вырождается в точку (R=0) , у других охватывает всю ось Ох (R=∞) . Пример. Найти область сходимости степенного ряда Решение :
т.е. интервал сходимости ряда . Ответ: R= . Сумма функционального ряда представляет собой функцию, определенную в области его сходимости. Про эту функцию говорят, что она разлагается в данный функциональный ряд. Для степенного ряда сумма обязательно будет бесконечно дифференцируемой функцией внутри интервала сходимости, поскольку степенной ряд можно почленно дифференцировать, т.е. S(x) = , то существует S/(x) и верно равенство . Это одно из замечательных свойств степенных рядов. Из этого свойства, в частности, вытекает, что при фиксированном х0 разложение функции в степенной ряд единственно и имеет вид Указанный ряд называется рядом Тейлора. При х0=0, рассматривается частный случай ряда Тейлора- ряд Маклорена:
Элементарные функции ех, sin x, cos x, ln(1+x), (1+x)α разлагаются в ряды Маклорена в интервалах ex= Задания:
1)
1) ; 2) ; 3) y= sin2x; 4) у= sin2x; 5) y=xex. Тема 4.1 Основы теории вероятности и математической статистики (6 часов) Теоретические сведения
Популярное: Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (324)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |