Математика как форма теоретического знания, ее гносеологическая специфика. Особенности эпистемологического основания математического знания

«Математика (М.) (греч. mathema - знание) - наука о математических структурах (множествах, между элементами которых определены некоторые отношения). На первых этапах развития М., возникшая в глубокой древности под влиянием запросов практики, имела своим предметом простейшие виды чисел и геометрических фигур. Это положение сохранялось в основном до 17 в. С этого времени и вплоть до второй половины 19 в. М. развивалась преимущественно как математический анализ, который и был открыт в 17 в. Открытие неевклидовых геометрий и создание теории множеств (Множеств теория) привели к перестройке всего здания М. и созданию совершенно новых ее отраслей. Важное значение приобрела в современной математике математическая логика. Методы М. широко используются в точном естествознании. Применение ее в биологии и общественных науках до последнего времени носило случайный характер» (ФИЛОСОФСКИЙ СЛОВАРЬ).

Роль математики в современной науке постоянно возрастает. Это связано с тем, что, во-первых, без математического описания целого ряда явлений действительности трудно надеяться на их более глубокое понимание и освоение, а, во-вторых, развитие физики, лингвистики, технических и некоторых других наук предполагает широкое использование математического аппарата.

Подобно тому, как основным вопросом философии является вопрос об отношении сознания к материи, стержневым вопросом философии математики является вопрос об отношении понятий математики к объективной реальности, другими словами, вопрос о реальном содержании математического знания.

Математику, как и философию можно отнести к всеобщим наукам. Она считается всеобщей и абстрактной наукой, поскольку математический аппарат в принципе может использоваться и практически используется во всех без исключения областях знания.

Задача математики состоит в описании того или иного процесса с помощью какого-либо математического аппарата, то есть формально-логическим способом. Но на основании этого утверждения нельзя делать вывод о том, что математика отображает лишь количественную сторону объектов предметного мира. Нельзя, потому, что лишь в исходных понятиях математики воспроизводится чисто внешняя (количество в широком, философском смысле) сторона этих объектов. Развитая же математическая теория выражает не только внешнюю, чисто количественную сторону предметов реального мира, но и в значительной степени их внутреннюю, качественную сторону.

В обыденном мышлении прочно господствует взгляд на математику как на некий единый корпус, основа которого начала формироваться в античности и была продолжена в Новое время. Однако в философии науки о единстве математики говорится с некоторой долей осторожности. По своей природе математика разнородна, в ее составе есть два различных «центра»: «арифметика» и «геометрия» (или даже три «центра», если различить арифметику как науку о числе и алгебру как науку об операциях (алгоритмах)). Эпистемологический статус этих составляющих математического знания различен. Если «арифметическая» составляющая тяготеет к априорному метафизическому знанию, то «геометрическая» составляющая тяготеет к апостеорной «физике». На протяжении истории развития математического знания происходит последовательная смена основной «центровости» математического знания. В отдельные исторические периоды преобладает либо «арифметическая» составляющая математики, либо ее «геометрическая» составляющая. Различие в эпистемологическом статусе между геометрией и арифметикой заключается в том, они реализуются с помощью различных познавательных способностей. Согласно Платону арифметика как изучающая умопостигаемые (интеллигибельные) числа (монады) подпадает под власть ума—разума (ноэзиса), в то время как геометрия изучающая материально-интеллигибельные, или интеллигибельно-материальные фигуры является предметом мысли низшей по отношению к ноэзису способности ума-рассудка (диаонойи). Прокл же, еще больше понижает эпистемологический статус геометрии по отношению к арифметике, т.к. познавательной способностью геометрии является уже не низшая часть ума (как это было у Платона), а воображение, которое занимает еще более низкое — промежуточное — положение между умом и чувственностью

Таким образом, суть античной парадигмы математики заключается в том, что она (математика) является условно-единым (квази)комплексом, в составе которого можно выделить две разнородные — как в онтологическом, так и в эпистемологическом плане — практики: «геометрию», как практику работы с непрерывными величинами, и «арифметику», как практику работы с дискретными числами. С «внешней» точки зрения математическое знание — как единый комплекс — занимает срединное положение между «физикой» и «метафизикой»; «внутри» же математики «арифметика» занимает более высокое по отношению к «геометрии» «положение», т.е. является более «метафизической» составляющей математического комплекса.

Принципиально иное решение о статусе математического знания (с учетом «внешних» и «внутренних» факторов) мы находим в Новое время, когда был «создан» единый культурологический комплекс «математика». Специфической чертой нововременной парадигмы математики является нивелирование различий между геометрией и арифметикой, сближение этих разнородных познавательных практик в составе универсальной «всеобщей математики» (mathesis universalis). Это связано, прежде всего, с фигурой Декарта, которому за счет алгебраизации геометрии — создания аналитической геометрии — удалось концептуально срастить арифметику и геометрию в единую науку. Именно с этой фигуры начинается формирование новой парадигмы «единой» математики. Однако в процессе ее формирования и модификации не только этот — «внутренний» — фактор является решающим. С одной стороны, при отмеченном выше «подтягивании» геометрии до алгебры «внутренняя» абстрактность математического комплекса усиливается и происходит повышение ее эпистемологического статуса по отношению к «физике»: математика занимает место как бы «прикладной метафизики», т.е. она расположена «выше» (физической) науки. С другой стороны, в Новое время существенно снижается общий («внешний») онтологический статус математического знания, поскольку происходит отождествление пространства геометрического (античной интеллигибельной материи) и пространства физического (чувственно данной, телесной материи). Т.е. наблюдается общий «дрейф» от «метафизике» к «физике».

Завершает разработку эпистемологического аспекта формирования единого нововременного математического комплекса (XVI — XVII в.в.) И. Кант. Он находит для «алгебры» и «геометрии» единое эпистемологическое — трансцендентальное — основание, и находит его в области чувственности. Возможность геометрии «выводится» из априорной формы чувственности — пространства, а в основании арифметики лежит другая априорная форма чувственности — время.

Обратим внимание на три принципиальных момента, проясняющих суть кантовского переосмысления природы математического знания. Во-первых, Кант существенно снижает «внутренний» статус математического знания, помещая ее на «шкале» познавательных способностей даже ниже (теоретической) «физики», которая работает на уровне рассудка. В этом смысле математика оказывается даже более эмпиричной (апостеорной), и занимает самый низший эпистемологический статус теоретического знания. Во-вторых, эпистемологическим (а не только онтологическим) базисом объединения математики выступает уже не «алгебра», как это было у Декарта, а «геометрия».

Таким образом, концепция математического априоризма Канта представляет собой промежуточный вариант — между сверх-априоризмом (умопостигаемостью) античности и эмпиризмом Нового времени — понимания природы и статуса математического знания.

Для иллюстрации современных — посткантовских — изменений в понимании природы и статуса математического знания кратко остановимся на анализе взглядов Г. Кантора и Г. Фреге.

Согласно концепции Г. Кантора в составе «арифметики» есть как «порядковые» (результат первой абстракции), так и «надпорядковые» — кардинальные — числа (результат второй абстракции). Тем самым внутренняя структура математического знания еще более усложняется. Соответственно, это также накладывает существенные ограничение на решение вопроса об априорности (апостеорности) математики в целом, т.к. верхние ее этажи являются более «априорными», чем нижние.

Фреге обосновал возможность математики как метанауки, исследующей не свойства (эмпирических) предметов, а признаки умопостигаемых понятий о предметах. В этом смысле математика, вернее ее «арифметический» комплекс, является метатеоретической — априорной! — дисциплиной по сравнению с «содержательными» теоретическими дисциплинам типа физики, химии, или, как принято говорить, математика является не содержательной, а «формальной» дисциплиной, что роднит ее с (формальной) логикой и метафизикой. В середине XX века фрегевское понимание математики (в качестве метанауки) получил развитие в работах Н. Бурбаки, которые рассматривали математику как (мета)науку о (мета)свойствах «математических структур», которые, в свою очередь, могут рассматриваться как канторовские «количественные» абстракции первого уровня.

Таким образом, в работах Г. Кантора и Г. Фреге (а позже и у Н. Бурбаки) было показано (обосновано), что математика является неоднородным иерархизированным комплексом знания, многослойной дисциплиной. Помимо «эмпирического» слоя математического знания, связанного с количественно-порядковой характеристикой предметов (абстрагирование от «качественной» определенности предметов), возможна априористская математика второго — «теоретического» — уровня (метауровня), которая изучает более высокие абстракции: «надпорядковые» структуры («кардинальные числа» Кантора) и/или «неопределенные предметы» — понятия (Фреге).

Современная математика является особой наукой, которая одновременно представляет собой: глобальное образование с укрупненным делением, выступающим как гносеологическое отражение структуры объекта математического познания; растущую и развивающуюся систему с внутрен­ними генетическими взаимосвязями; целостный функционирующий организм с отдельными частями, выполняющими внутриматематические, специфические функции; иерархическую систему, структурированную на многие уровни.