Оценка параметров и характера распределения статистической совокупности

Выявление основных свойств и закономерностей исследуемой статистической совокупности необходимо начинать с построения ряда распределения единиц по одному из характеризующих их признаков. Оценка параметров ряда распределения позволит сделать вывод о степени однородности статистической совокупности, о возможности использования её единиц для проведения научно обоснованного экономического исследования.

Рассмотрим порядок построения ряда распределения 23 хозяйств области по среднесуточному приросту на одну корову следующий:

1. Составляем ранжированный ряд распределения предприятий по среднесуточному приросту на одну голову крупного рогатого скота, т.е. располагаем их в порядке возрастания по данному признаку (г): 119; 159; 188; 224; 263; 297; 305; 317; 321; 326; 333; 355; 357; 385; 394; 420; 456; 489; 527; 571; 615; 637; 644.

2. Определяем количество интегралов (групп) по формуле:

k = 1+3,322 lg N,

где N – число единиц совокупности.

При N=23   lg 23 = 1,362                  k = 1+3,322 ∙ 1,362 = 5,52 » 6

3. Определяем шаг интервала:

где x _max  и x _min – наименьшее и наибольшее значение группировочного признака.

k – количество интервалов.

.

4. Определяем границы интервалов:

Для этого x _min = 119 принимаем за нижнюю границу первого интеграла, а его верхняя граница равна: x _min + h = 119 + 87,5 = 206,5. Верхняя граница первого интервала одновременно является нижней границей второго интервала. Прибавляя к ней величину интервала (h), определяем верхнюю границу второго интервала: 206,5 + 87,5 = 294.

Аналогично определяем границы остальных интервалов.

5. Подсчитываем число единиц в каждом интервале и записываем в виде таблицы.

Таблица 8 – Интервальный ряд распределения хозяйств по среднесуточному приросту на одну корову

Группы хозяйств по среднесуточному приросту на одну корову, г.	Число хозяйств
119 – 206,5	3
206,5 – 294	2
294 – 381,5	8
381,5 – 469	4
469 – 556,5	2
556,5 – 644	4
Итого	23

 

Для наглядности интервальные ряды распределения изображают  графически в виде гистограммы. Для ее построения на оси абсцисс откладывают интервалы значений признака и на них строят прямоугольники с высотами, соответствующими частотами интервалов.

 

Рисунок 1 – Гистограмма распределения хозяйств по среднесуточному приросту на одну корову

Для выявления характерных черт, свойственных ряду распределения единиц, могут быть используют следующие показатели:

1) Для характеристики центральной тенденции распределения определяют среднюю арифметическую, моду, медиану признака.

Средняя величина признака определяется по формуле средней  арифметической взвешенной:

где  x _i – варианты;

 - средняя величина признака;

f _i  - частоты распределения.

В интервальных рядах в качестве вариантов (х _i ) используют серединные значения интервалов.

Мода – наиболее часто встречающееся значение признака, может быть определена по формуле:

где x_mo – нижняя граница модального интервала,

h – величина интервала,

Δ₁ – разность между частотой модального и домодального интервала,

Δ₂ – разность между частотой модального и послемодального интервала.

Медиана – значение признака, находящегося в центре ранжированного ряда распределения, определяется по формуле:

где x_me – нижняя граница медиального интервала,

h - величина интервала,

S f_i  - сумма частот распределения,

S _{me -1} - сумма частот домедиальных интервалов,

f _me - частота медиального интервала.

2) Для характеристики меры рассеяния признака определяют показатели вариации: размах вариации, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.

Размах вариации составит:

Дисперсия определяется по формуле:

Среднее квадратическое отклонение признака в ряду распределения составит:

Для определения коэффициента вариации используют формулу:

3) Для характеристики формы распределения могут быть использованы коэффициенты асимметрии (A_s) и эксцесса (E_s):

Так как А_s >0, распределение имеет правостороннюю асимметрию, о которой также можно судить на основе следующего неравенства: М₀ < М_е < .

Так как Е_s <0, распределение является низковершинным по сравнению с нормальным.

Для того чтобы определить, подчиняется ли эмпирическое (исходное) распределение закону нормального распределения, необходимо проверить статистическую гипотезу о существенности различия частот фактического и теоретического (нормального) распределения.

Наиболее часто для проверки таких гипотез используют критерий Пирсона, фактическое значение которого определяется по формуле:

 

где f_i  и f_m – частоты фактического и теоретического распределения.

 

 

Теоретические частоты для каждого интервала определяются в следующей последовательности:

1. Для каждого интервала определяют нормированное отклонение (t):

Например, для первого интервала и т. д.

Результаты расчета значений t представлены в таблице 9.

Таблица 9 – Эмпирическое и теоретическое распределение предприятий по среднесуточному приросту на одну корову

Срединное значение интервала по среднесуточному приросту на одну корову, г	Число хозяйств		φ(t)
xi	fi	t	табличное	fm	–
162,75	3	1,62	0,1074	1	4
250,25	2	0,98	0,2468	4	1
337,75	8	0,34	0,3765	6	0,67
425,25	4	0,31	0,3802	6	0,67
512,75	2	0,95	0,2541	4	1
600,25	4	1,59	0,1127	2	2
Итого	23	Х	Х	23	9,34

 

2. Используя математическую таблицу «Значения функции» при фактической величине t для каждого интервала, найдем значение функции нормального распределения (см. таблицу 9).

3. Определим теоретические частоты по формуле:

где n - число единиц в совокупности,

h - величина интервала.

n =23, h =87,5, s =136,2.

4. Подсчитаем сумму теоретических частот и проверим ее равенство фактическому числу единиц, т.е. åf_i ≈ åf_m

Таким образом, фактическое значение критерия составило: χ² _факт=9,34.

По математической таблице «Распределение χ²» определяем критическое значение критерия χ² при числе степеней свободы (v) равном числу интервалов минус единица и выбранном уровне значимости (в экономических исследованиях чаще всего используют уровень значимости равный 0,05).

При v = 6 – 1 = 5 и α = 0,05;  χ²_табл = 11,07

Поскольку фактическое значение критерия (χ² _факт) меньше табличного (χ²_табл), отклонение фактического распределения от теоретического следует признать несущественным.

Таким образом, среднесуточный прирост на одну голову в 23 хозяйствах составил 383,4 г при среднем квадратическом отклонении 136,2 г.

Так как коэффициент вариации больше 33%, совокупность единиц является неоднородной: V=35,5%

Распределение имеет правостороннюю асимметрию, т.к. и М₀ < М_е <  и А_s >0 и является низковершинным по сравнению с нормальным распределением,  т.к. Е_s  < 0.

При этом частоты фактического распределения отклоняются от частоты нормального несущественно. Следовательно, исходную совокупность единиц можно использовать для проведения экономико-статистического исследования эффективности производства мяса на примере 23 предприятий Кировской области.