Определение передаточных функций и частотных характеристик. Проверка устойчивости системы

 

По результатам статического расчета составим передаточные функции для отдельных элементов и системы в целом.

Передаточная функция для электродвигателя постоянного тока:

 

,

Передаточная функция усилительно-преобразовательного элемента:

 

 

,

Передаточная функция элемента сравнения:

,

Передаточная функция редуктора:

.

Передаточная функция разомкнутой системы:

 

,

 

где ,

отсюда .  (4)

Передаточная функция замкнутой системы:

 

,

 

где знаменатель представляет собой характеристический полином

 

.

 

Анализируя выражение (4) можно сказать о том, что наша система представляет собой систему третьего порядка и является астатической (астатизм первого порядка).

Амплитудно-фазовая характеристика (АФХ) разомкнутой системы определяется из формулы (4) путем замены :

 

,

 

где - амплитудно-частотная характеристика,                                                          (5)

- фазочастотная характеристика,

Переходя к логарифмическим характеристикам, используя выражение (5), получим логарифмическую амплитудную характеристику (ЛАХ) разомкнутой системы.

 

 

Таким образом, выражение для фазо-частотной характеристики:

 

 

для логарифмической амплитудной характеристики:

 

Определим частоты сопряжения:

 Гц

Гц

Построение фазово-частотной характеристики разомкнутой нескорректированной системы (таблица 22):

 

Таблица 22

0,1	-90,9
1	-94,3
10	-128
102	-187
103	-248
104	-268

 

Определим, устойчива ли получившаяся система. Под устойчивостью САР понимается способность системы возвращаться в установившееся или близкое к нему состояние после устранения возмущения, нарушающее это состояние. Для этого найдем предельный коэффициент передачи  разомкнутой системы, применив критерий Михайлова.

Из характеристического полинома замкнутой системы заменой  получим характеристический вектор:

 

 

Если годограф вектора  проходит через начало координат, то система находится на границе устойчивости, при этом коэффициент передачи разомкнутой системы имеет предельное значение.

Приравняв к нулю вектор , получим систему из двух уравнений:

                                                                               (6)

 

                                                                  (7)

 

Выразим из выражения (6)

 

 

и подставим в (7). Получим:

 

 

 

В действительности К = 589 < 399 система неустойчива.

Затем необходимо выделить из этого выражения действительную и мнимую части:

 

,

 

где ,

 

.

 

Задаваясь значениями щ от 0 до ∞ при известных коэффициентах а₀, а₁, а₂, а₃, а₄, для каждого значения щ находим X(щ) и Y(щ).

Таблица 23

щ	X(щ)	Y(щ)
0	589	0
15	572,237	14,369
30	521,95	24,953
45	438,138	27,965
60	320,8	19,621
75	169,938	-3,865
90	-14,45	-46,279
105	-232,362	-111,406
120	-483,8	-203,032
135	-768,763	-324,9423
150	-1087	-480,923

 

Годограф Михайлова изображен на рисунке 19.

 

Рисунок 19

 

Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы годограф вектора N(jщ), начинаясь при щ=0 на вещественной оси, с ростом частоты от нуля до бесконечности обходил последовательно против часовой стрелки n квадрантов комплексной плоскости, где n – порядок характеристического уравнения замкнутой системы.

Из графика видно, что система неустойчива, так как не нарушен порядок обхождения годографом квадрантов комплексной плоскости.