Занятие №8. Некоторые свойства сочетаний.

Этот вопрос можно предложить учащимся в качестве самостоятельной работы.

I.

а) Составьте всевозможные сочетания по 2 элемента без повторений из элементов множества М={а, б, в, г, д}. Для каждого из составленных подмножеств выпишите дополнения - трехэлементные подмножества оставшихся элементов - и сравните число тех и других. Какой вывод можно сделать о числах и ?

б)Из n элементов некоторого множества составлены всевозможные k-элементные подмножества и соответствующие им дополнения — (n-k) – элементные подмножества оставшихся элементов. Какой вывод можно сделать о сравнительной величине чисел  и ?

в) Воспользуйтесь формулой подсчета числа сочетаний без повторений и докажите равенство = . Это равенство выражает одно из важных свойств сочетаний. Им удобно пользоваться для вычисления  в случае k> n.

г)  Не производя вычислений, выберите равные из следующих чисел: , , , , , , , , , , , , , .

д) Вычислите , , .

е)  Множество М={а, б, в, г, д, е} разбейте всеми возможными способами на два подмножества так, чтобы в одно из них входило 2 элемента, а в другое - 4.

ж) Из 12 человек нужно составить 2 волейбольные команды по 6 человек в каждой. Сколькими способами это может быть сделано?

II. Докажите следующее свойство сочетаний:

+ + +…+ =2ⁿ.

а) Возьмите множество М={а, b, с} из трех элементов и составьте k-элементные подмножества М /k=0, 1, 2, 3/.

Каждому подмножеству поставьте в соответствие последовательность из трех цифр – единиц и нулей – следующим образом: каждому из трех элементов а, b, с поставьте в соответствие 1, если он входит в подмножество, 0 – если он в подмножество не входит. Рассмотрите таблицу

Таблица 1.

Виды подмножеств	Число подмнож.	Подмножества	Последовательности из 1 и 0
Пустые		Æ	000
Одноэлементные		{a}, {b}, {c}	100, 010 ,001
Двухэлементные		{ab}, {ac}, {bc}	110, 101 ,011
Трехэлементные		{a, b, c}|	111

Число всех подмножеств множества М равно + + + и равно числу всех последовательностей длины три из единиц и нулей. Число таких последовательностей нетрудно подсчитать: каждое из трех мест в последовательности может быть занято 1 или 0, то есть двумя способами, а все три места – по принципу умножения – 2×2×2=2³ способами. Это число можно получить и по формуле подсчета числа размещений с повторением, таким образом, + + + =2³.

б) Проведите аналогичные рассуждения для множества из n элементов. Тогда какие изменения следует внести в таблицу? Сделайте вывод, результат запишите.

Занятие №9. Свойство сочетаний = + и треугольник Паскаля.

I. Для изучения следующего свойства сочетаний предварительно составим трехэлементные подмножества множества М={а, б, в, г, д}. Затем выберем из множества М любой элемент, например, «а» и разобьем все подмножества на два класса: не содержащие «а» и содержащие «а».

I класс: {б, в, г},  {б, в, д}, {б, г, д}, {в, г, д}

II класс:   {а, б, в},  {а, б, г}, {а, б, д}, {а, в, г},

{а, в, д},  {а, г, д}.

Первый класс состоит из всевозможных сочетаний без повторений по три элемента из следующих четырех: б, в, г, д. Таких сочетаний . Каждое подмножество второго класса состоит из элемента «а» и двух элементов, выбираемых из множества следующих элементов: б, в, г, д. Очевидно, число таких подмножеств равно .

Подмножества I и II классов исчерпывают все трехэлементные подмножества множества М, что означает:

= + .

Аналогичными рассуждениями получите равенство:

= + .

Убедитесь в справедливости последнего равенства, воспользовавшись формулой подсчета числа сочетаний без повторений.

II. Составим таблицу значений  при различных значениях n и k. В таблицу 2 занесем значения =1, =1, =1, =1, =2, =1. Заполните остальные строки таблицы, используя свойство сочетаний.

Займемся изучением таблицы 2.

Первые и последние элементы любой строки равны 1, так как = =1. Это равенство будем считать верным и при n=0 (пустое множество своим единственным подмножеством имеет самое себя).

Любой другой элемент таблицы 2 согласно свойству сочетаний, на основании которого составлена таблица, равен сумме двух элементов предшествующей строки: стоящего непосредственно над ним и стоящего над ним слева.

Часто числа  располагают в таблице иначе, так, что каждый элемент таблицы равен сумме двух чисел предшествующей строки, стоящих непосредственно над ним слева и справа. Тогда таблица принимает форму равнобедренного треугольника.

Исследованием свойств такой треугольной таблицы и применениями ее занимался выдающийся ученый Франции Блез Паскаль (1623 —1662). Поэтому рассматриваемую таблицу часто называют треугольником Паскаля. Хотя задолго до Паскаля этот треугольник встречался в работах итальянских и арабских математиков.

Отметим некоторые из свойств треугольника Паскаля.

1. Сумма чисел k-той строки равна 2^k: ранее было доказано, что + + +…+ =2^k.

Таблица 2

2. Числа каждой строки треугольника, равноудаленные от ее концов, равны между собой. Обоснованием этого свойства служит равенство = .

2. Члены любой строки треугольника Паскаля до середины строки возрастают, а затем убывают.

Задания:

1. Сколько различных подмножеств имеет множество всех цифр?

2. Сколько различных делителей, включая 1, имеет число а)2∙3∙5∙7∙11? б) 195?

3. Сколько различных произведений, кратных 10, можно составить из множителей 2, 7, 11, 9, 3, 5?

4. С помощью свойства сочетаний = + докажите равенство: + + +…+ = .

5. Пользуясь треугольником Паскаля, найдите числа , .

6. Напишите 11 строку треугольника Паскаля.