Занятие №10. Следствия теорем сложения и умножения.

Возвращаясь к занятию №8, где теорема сложения была рассмотрена для несовместных событий, целесообразно изложить теорему сложения для совместных событий. Доказательство приводить не обязательно, надо только ее проиллюстрировать.

Теорема 1. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме этих событий без вероятности их совместного появления:

Пусть требуется найти вероятность события А, которое может наступить при условии появления одного из несовместных событий В₁, В₂, …, В_n, образующих полную группу.

Если А произошло вместе с одним из событий В₁, В₂, …, В_n, значит, произошло одно из несовместных событий В₁А, В₂А, …, В_nА.

Таким образом, А= В₁А + В₂А + … + В_nА.

Поскольку события В₁, В₂, …, В_n взаимно несовместны, то и события В₁А, В₂А, …, В_nА обладают тем же свойством. Поэтому

Р(А)= Р(В₁А) + Р(В₂А) + … + Р(В_nА).

По теореме умножения вероятностей зависимых событий имеем ; ; …; .

Поэтому

.

Теорема 2. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий В₁, В₂, …, В_n, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:

.

Эту формулу называют «формулой полной вероятности».

С помощью этой формулы находим так называемую формулу Бейеса:

 при i=1, 2, …, n.

Особенно широко она применяется при решении задач, связанных с вероятностной оценкой гипотез. Гипотезы – это события, про которых заранее не известно, какое из них наступит.

Доказать формулу Бейеса учащиеся могут самостоятельно.

Задачи:

1. Подбрасываем две монеты. Какова вероятность выпадения хотя бы одного герба?

2. Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны: р₁=0,7; р₂=0,8. Найти вероятность попадания при одном залпе (из обоих орудий) хотя бы одним из орудий.

3. Отдел технического контроля проверяет на стандартность по двум параметрам серию изделий. Было установлено, что у 8 из 25 изделий не выдержан только первый параметр, у 6 изделий – только второй, а у 3 изделий не выдержаны оба параметра. Наудачу берется одно из изделий. Какова вероятность того, что оно не удовлетворяет стандарту?

4. В лотерее выпущено n билетов, m из которых выигрывают. Гражданин купил k билетов. Какова вероятность того, что один из купленных билетов выигрышный?

5. В урну, содержащую 2 шара, опущен белый шар, после чего из нее наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны все возможные предположения о первоначальном составе шаров (по цвету).

6. Из 10 учеников, которые пришли на экзамен по математике, трое подготовились отлично, четверо – хорошо, двое – удовлетворительно, а один совсем не готовился – понадеялся на то, что все помнит. В билетах 20 вопросов. Отлично подготовившиеся ученики могут ответить на все 20 вопросов, хорошо – на 16 вопросов, удовлетворительно – на 10, и не подготовившиеся – на 5 вопросов. Каждый ученик получает наугад 3 вопроса из 20. Приглашенный первым ученик ответил на все три вопроса. Какова вероятность того, что он отличник?