Аффинная система координат.

ГОУВПО «Арзамасский государственный педагогический институт

имени А.П.Гайдара»

Кафедра алгебры, геометрии и методик их преподавания.

 

 

Дипломная работа

 

«Многомерные пространства»

 

 

                                                             

                                                           Выполнил: студент 54 группы

                                                  физико-математического факультета

                      Карасёв Алексей

 

                                             Научный руководитель кандидат

                                       физико-математических наук,

                           доцент:  Елисеев Е.М .

 

 

Арзамас 2008г.

 

Введение.

Глава 1. Аффинное пространство.

Аффинное n -мерное пространство.

Аффинная система координат.

Квадрики в аффинном пространстве.

Классификация квадрик в аффинном пространстве.

Различные виды уравнений k -плоскостей.

Взаимное расположение k -плоскостей.

Расстояние между k -плоскостями.

Глава 2. Евклидово пространство.

N- мерное евклидово пространство.

Расстояние между двумя точками. Угол между векторами.

Движения евклидова пространства.

1.4. Группы движений пространства .

Преобразование подобия. Группа подобий.

Квадрики в евклидовом n -пространстве.

Задачи.

Заключение.

Литература.

 

Введение.

Многомерная геометрия- геометрия пространств размерности, большей трёх. Термин «Многомерная геометрия» применяется к тем пространствам, геометрия которых была первоначально развита для случая трёх измерений и только потом обобщена на число измерений n>3, то есть прежде всего к евклидову пространству, а также к пространству Лобачевского, Римана, проективному, аффинному.

Исторически представление в более чем 3-мерном пространстве зарождалось постепенно; первоначально - на почве геометрического представления степеней: - «квадрат», - «куб», но  и т.д. уже не имеет наглядного представления, и говорили - «биквадрат», - «кубоквадрат» и т.п. (еще у Диофанта в 3в. и далее ряда средневековых авторов). Мысль о многомерном пространстве выражал И.Кант (1746 г), а о присоединении к пространству в качестве 4-й координаты времени писал Ж. Д´ Аламбер. Построение же евклидовой многомерной геометрии было осуществлено А.Кэли (1843г.),  Г.Грассманом (1844г.) и Л.Шлефли(1852г.). Первоначальные сомнения и мистика, связанные со смешением этих обобщений с физическим пространством, были преодолены, и n-мерное пространство как плодотворно формально-математическое понятие скоро полностью укрепилось в математике.

Евклидово пространство произвольного числа измерений n  (не исключая случая бесконечно - мерного) проще всего определить как такое , в котором выделены подмножества – прямые и плоскости, имеются обычные отношения : принадлежности порядка, конгруэнтности (либо определены расстояния или движения), и выполняются все обычные аксиомы, кроме следующей: две плоскости , имеющие общую точку, имеют по крайней мере еще одну. Если это выполнено, то пространство 3-мерно, если же не выполнено, так что есть две плоскости с единственной общей точкой, то пространство, как минимум , 4- мерно.

Совершенно аналогично евклидову пространству  определяются пространство Лобачевского и аффинное . В пространстве  выполняются все те же аксиомы, что в , с заменой аксиомы параллельности на противоположную, а в - все аксиомы  за исключением аксиом конгруэнтности, вместе с которыми исключается и само понятие конгруэнтности. Аналогично, изменением аксиом сочетания можно определить n-мерное проективное пространство . Другой способ определения всех этих пространств состоит в том, что в них вводятся координаты, задается группа их преобразований и геометрическими считаются те и только те соотношения, которые инвариантны относительно этой группы. В случае  – это группа подобий; для - это группа всех линейных (неоднородных) преобразований.

 

Аффинное n -мерное пространство.

Пусть V-векторное пространство над полем K .Элементы из V будем обозначать так: , ,…, , ,…. Множество E  называют аффинным пространством над векторным пространством V над полем K,если задано отображение : E E V, удовлетворяющая двум условиям (аксиомам Вейля аффинного пространства):

1. Для каждого элемента A E отображение : E V по закону ( B )= ( A , B ), B  является биекцией.

Каждой упорядоченной паре (A , B ) элементов A , B E отображение ставит в соответствие определенный вектор (A , B )= V . Этот вектор обозначают через . По аксиоме 1 для каждых A E , V существует и притом единственный элемент X , такой, что =                                                                      

2. + = , A , B , C E .

      Элементы A , B , C ,...аффинного пространства E называются точками. Векторы ,…из V называются переносами (или свободными векторами) пространства E , а векторное пространство V -пространством переносов аффинного пространства E .

Отметим некоторые следствия из определения аффинного пространства:                                                                                                   

1) = =  По аксиоме 2 

+ =    (1)

         + =      (2)                                                                         

        (1), (2) + = +  

Вычитая из обеих частей равенства вектор = , получим

                                        = ;                                                                  

2) вектор  - нулевой вектор пространства переносов. Для любых A , B  имеем: + = = , где - нулевой вектор пространства V . Так как в векторном пространстве V нулевой вектор единственный, то =  A , B E ;                                                                

3) =- По аксиоме 2 + = + =  т.е. векторы  и пространства V противоположны один другому и, значит, =-

4) = A = B . По аксиоме 2 + =  и так как по условию           = то = . Значит, - = -  и по следствию 3 = . Отсюда по аксиоме 1 A = B .

 

 

Аффинная система координат.

Пусть Е n -мерное аффинное пространство над полем К, V –пространство переносов. Аффинной системой координат, или аффинным репером в пространстве Е, называется упорядоченное множество R из n +1 точек О, , …,  таких, что векторы = ( =1,2,…,n) образуют базис пространства V. Точки  будут определены , если задать точку  О  и базис { } в V . Поэтому вместо R ={ O , …, } обычно пишут: R = …, }.Точку O называют началом репера R , векторы -координатными векторами.

Зададим в аффинном пространстве Е какой-либо репер R ={ O , , ,… }.Для каждой точки M E определен вектор , который называется радиус – вектор точки M . Вектор  разложим по векторам базиса {

                   = + +…+ ,     (3)          

где  , ,…, - элементы поля К; они называются координатами точки M в репере R.

Формулу (3) можно записать короче:

           = , или = . (4)     

Индекс у буквы x показывает номер координаты.

Кроме выбранного репера R , в аффинном пространстве существуют и другие аффинные реперы. Возьмем еще один репер R ´={ O ´, …, }. Пусть  - координаты точки O ´ в репере R :

                       ´= .    (5)             

 Вектор ´= ( разложен по векторам старого базиса { }, причем определитель det матрицы C=  отличен от нуля ,так как векторы ´, …,  образуют базис пространства V.

Матрица С называется матрицей перехода от старого базиса { } к новому базису { ´}.

 Для произвольной точки M  Е имеем:

                        = ´+ . (6)                 

Пусть  – координаты точки М в репере R и  – координаты этой же точки в репере R ´. Учитывая (5), запишем равенство (6) в виде:                                                                                                                        = + .

Используя ( , получим:

                                          = +                                                                              Отсюда в силу линейной независимости векторов :      

              = , det    (7)

Равенства (7) выражают старые координаты точки М через ее новые координаты и представляют собой формулы преобразования координат точки М Е.

Пусть Е- n-мерное аффинное пространство над полем К, V -пространство переносов. Если взять точку О, то по первой аксиоме Вейля отображение :E V по закону (М)=  является биекцией.

С помощью этой биекции можно отождествить аффинное пространство E и векторное пространство V (отождествить каждую точку М Е с ее радиус-вектором V).

 

Квадрики в аффинном пространстве.                                        

 Квадрикой (или поверхностью второго порядка) Q в аффинном пространстве называется место точек этого пространства, координаты которых в каком–либо аффинном репере R ={ O , } удовлетворяют алгебраическому уравнению второй степени:        

                     +2 + =0.             (1)

Перенесем начало координат в точку ( , т.е. перейдем к реперу R ´={  }. Формулы преобразования координат при этом имеют вид:

                            = +  

где -старые, а  - новые координаты точки M .                           

Уравнение квадрики в новых координатах примет вид:                                                                                                                                                                                                         ( + )( + )+2 ( + )+ =0                                                                                          или

+2 + =0,                                                         (2)                                                                  где = + = +2 +                                            (3)

Центром квадрики Q называется ее центр симметрии.

Если в уравнении (2)  =0 (i =1,2,…, n ) и М(  то и            М´(-  )  Q и ,значит, - центр квадрики Q .                               

Верно и обратно: если - центр квадрики Q, то в уравнении(2) не будет членов с первыми степенями : =0.                                       

Пусть  - центр квадрики Q и M (  и, следовательно, координаты  точки M  удовлетворяют уравнению (2). Тогда и M´(- ) :               -2 + =0 .              (4)

Вычитая равенство (4) из равенства (2), находим 

=0 .                                        (5)

Этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки M . 

Теорема. Точка является центром квадрики (1) тогда и только тогда, когда координаты этой точки удовлетворяют системе уравнений:  + =0.     (6)

При решении системы (6) встречаются три случая.

1. det  0,т.е. ранг =n. Система (6) имеет единственное решение, и, значит, квадрика Q –единственный центр. Такая квадрика называется центральной.

       2. det =0,но ранг = ранг =r. Система (6) совместна,

и в ней можно оставить лишь r n линейно независимых уравнений. Они определяют (n - r)-плоскость (плоскость центров), каждая точка которой служит центром квадрики.                                       

      3.det =0,но ранг ранг . Система (6) несовместна,- квадрикаQ не имеет центра.

      В случае 2 и 3 квадрика называется нецентральной.

 

 

Классификация квадрик в аффинном пространстве.

Пусть относительно репера R ={ O ,  квадрика Q определяется уравнением:

           +2 + =0                     (1)

       Переход к другой аффинной системе координат (к другому реперу R ´={ O ´, ) можно выполнить в два приема:

            а) перенос начала: от репера R переходим к реперу ={O´,  с теми же координатными векторами . При этом коэффициенты  квадратичной формы  не изменяются ,тогда как коэффициенты  и свободный член  вообще изменяются;

б) замена базиса {  на базис { } в пространстве переносов V:        =

При этом старые координаты  любой точки M выражаются через ее новые координаты  с помощью системы уравнений : =  Внесем эти выражения  в уравнение (1), получим уравнение квадрики Q в новых координатах : 

                            +2 + =0,                        (2)                 

Следовательно, при замене базиса {  изменяются коэффициенты квадратичной формы  и коэффициенты  но не меняется свободный член . При любом преобразовании аффинной системы координат ранг и индекс квадратичной формы не меняются.

Уравнение квадрики, имеющей хотя бы один центр имеет вид:                                                                                            ( + +…+ + =0 .          (  

Уравнение квадрики, не имеющей центра   ( +…+ ( +2b =0 .                 ( )

Рассмотрим уравнение ( . Возможны следующие частные случаи:

1. r = n. Уравнение определяет центральную квадрику                                                  (с центром в точке =0).

      А)  - центр не лежит на квадрике. Пусть  =- , приведем уравнение ( ) к каноническому виду:

                                            ( =1 (3)

    Если в уравнении (3) все коэффициенты положительны, , то, обозначив = , получим нормальное уравнение эллипсоида:

                  (  + (  +… +( =1.   

       ) В уравнении (3) все . Обозначив = , получим  нормальное уравнение мнимого эллипсоида (не содержит ни одной точки из ):

                         (  + (  +… +( =-1;

 

) В уравнении (3): (t=1,2,…,n-l) ,  (s=n-l+1,…n). Такая квадрика называется гиперболоидом индекса l . Полагая , , найдем нормальное уравнение этой квадрики:                                        + +…+ -…- =1.

Б) =0- центр лежит на квадрике. Ее каноническое уравнение:                =0        ( = ).         (4)

Квадрика называется конусом с вершиной в точке О.

) Все  имеют одинаковые знаки. Квадрика называется мнимым конусом (квадрика содержит лишь одну точку О ). В этом случае уравнение (4) приводится к виду:

                     +…+ =0.                                                                     

 В уравнении (4): (t=1,2,…,n-l) , (s=n-l+1,…,n). Квадрика Q  называется  конусом индекса l ,если l  n-l,т.е. l .  

 2. r  n.Система уравнений, определяющих центр: =0 (t=1,2,…,r); учитывая что ). Значит, множество центров – ( n - r )-мерная координатная плоскость  .             

 А) . Обозначив =- , запишем уравнение (1) в каноническом виде:

=1      (t=1,2,…,r). (5). Квадрика называется  цилиндром.

Все виды квадрик аффинно  различны. Это значит, что не существует аффинного преобразования, которое переводило бы квадрику одного вида в квадрику другого вида. Квадрики, не принадлежащие одному виду, имеют различные нормальные уравнения.

Выпишем канонические уравнения квадрик в трехмерном аффинном пространстве.

а) r =3. Тогда:

1) + + =1 ( ) -эллипсоид;  

       2) + + =-1 ( )- мнимый эллипсоид;    

 3) + - =1 ( ) - однополостный гиперболоид (гиперболоид индекса 1);    

4) - - =1 ( ) - двуполостный гиперболоид;             

5) + + =0 ( )- мнимый конус;

6) + - =0 ( ) - конус с вершиной в точке O.

б). r . Тогда:

7) +