Преобразование подобия. Группа подобий.
Подобием пространства называется преобразование f этого пространства, обладающее следующим свойством: существует число k (коэффициент подобия), такое, что (f (Α), f (Β))= Движение является частным случаем подобия ( =1). Другим частным случаем подобия является гомотетия. Пусть даны точка S и число R, . Гомотетией с центром S и коэффициентом называется отображение g: по закону g(Μ)=Μ´ = . Отсюда следует, что g(S)=S (S-неподвижная точка), и если Μ , то точка Μ´ лежит на прямой (SΜ). Возьмем произвольные точки Μ и Ν и пусть Μ´= g(Μ), Ν´= g(Ν). Тогда = , = = . (1) Возьмем еще одну точку L на прямой ( MN). Для точки L ´=f( L ) имеем: = (2) Пусть точки M и N различны. Тогда = , (3) (1),(2) = . (4) (3),(4) гомотетия сохраняет отношение трех точек прямой.Поэтому в гомотетии отрезок переходит в отрезок, луч – в луч, прямая – в прямую, полуплоскость – в полуплоскость. Если - направляющий вектор прямой a, то - направляющий вектор прямой a ´= f ( a ) . (1) a ´ a . Следовательно, гомотетия переводит прямую в параллельную ей прямую. В гомотетии угол переходит в конгруэнтный ему угол. Это утверждение очевидно, если стороны угла лежат на одной прямой. Рассмотрим угол АОВ, стороны которого не лежат на одной прямой. Обозначим через Π плоскость, в которой лежит этот угол. В гомотетии g плоскость Π перейдет в плоскость Π´ Π, луч Π перейдет в луч , а луч -в луч . Если угол АОВ выпуклый, то он является пересечением полуплоскостей и : = . В гомотетии g эти полуплоскости перейдут соответственно в полуплоскости и и, значит, угол АОВ перейдет в угол = . Соответствующие стороны углов АОВ и А´О´В´ одинаково направлены при и противоположно направлены при При параллельном переносе пространства на вектор эти углы совпадают в первом случае и окажутся вертикальными во втором случае. Следовательно, эти углы конгруэнтны. Так как g( Π )= Π ´ и g = , то угол 1, дополняющий выпуклый угол АОВ до полного угла ,переходит в гомотетии g в угол 1´, дополняющий выпуклый угол Α´О´Β´ до полного угла: . Значит, и невыпуклый угол гомотетия переводит в конгруэнтный ему угол. Учитывая равенство (1), находим: | =| | , Следовательно, гомотетия является подобием. Гомотетия с центром S и коэффициентом h =-1 является центральной симметрией (относительно точки S). Теорема. Всякое подобие является произведением гомотетии и движения. Пусть f –подобие с коэффициентом Возьмем какую-либо точку S и пусть g- гомотетия с центром S и коэффициентом . Если M , N -произвольные точки пространства и Μ´=f(Μ), Ν´=f(Ν), то | = | (5) Пусть g(Μ)=Μ´´, g ( Ν )=Ν´´. Тогда | = | ( (6) Преобразование d = f переводит каждую точку Μ´´ в такую точку Μ´, что имеет место равенство (7), т.е. преобразование d сохраняет расстояние между любыми двумя точками. Следовательно, d = f –движение. Отсюда f=d теорема доказана. Следствия. 1) В подобии сохраняется отношение трех точек; следовательно, отрезок переходит в отрезок, луч в луч; 2) в подобии угол переходит в конгруэнтный ему угол; 3) в подобии – плоскость переходит в -плоскость. Пусть дано подобие с коэффициентом Возьмем какой-либо ортонормированный репер R={О, }. По доказанному j =d , где g- гомотетия с центром О и коэффициентом k , а d-движение. Произвольная точка Μ( ) перейдет в гомотетии g в такую точку Μ´´( ) , что Следовательно, (8) Движение d переводит точку Μ´´ в точку Μ´=d(Μ´´)=f(Μ). Если - координата точки Μ´´, то, как известно, (9), где || || - ортогональная матрица. (8),(9) (10) Так выражаются в ортонормированном репере R координаты точки Μ´=f(Μ) через координаты точки Μ в подобии f.
Популярное: Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (229)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |