Аналитическое задание k-плоскости.
Из теоремы 1 следует, что плоскость однозначно определяется заданием точки и k линейно независимых векторов , параллельных этой плоскости. Если в пространстве выбрана система координат, то точка и векторы будут иметь координаты: Пусть – произвольная точка плоскости тогда и только тогда, когда вектор принадлежит подпространству этой плоскости, т.е. Запишем это условие в координатах. Вектор имеет координаты: поэтому (1) Эти соотношения называются параметрическими уравнениями k-плоскости. Их смысл заключается в следующем: если точка принадлежит плоскости, то всегда найдутся такие параметры , что, подставив эти параметры в соотношение (1), получим координаты точки . Обратно, каковы бы ни были параметры , подставив их в соотношения (1), получаются координаты некоторой точки плоскости. Так как векторы линейно независимы, то матрица, составленная из коэффициентов при в соотношениях (1) имеет ранг k. Если определитель, составленный из коэффициентов первых k равенств, не равен нулю, т.е.
то из равенств (1) можно однозначно определить параметры . Подставив их значения в оставшиеся соотношений, получаются , получаются независимых линейных уравнений, связывающих координаты точки . Эти соотношения могут быть записаны в следующем виде: Точка принадлежит плоскости тогда и только тогда, когда координаты её удовлетворяют соотношениям (3). Они называются уравнениями плоскости . Итак, каждая k-плоскость в пространстве может быть определена системой независимых линейных уравнений. В частности, гиперплоскость определяется одним уравнением:
3. Общие уравнения плоскости. Теорема 3: Пусть – совместная независимых линейных уравнений. Если в пространстве выбрана система координат , то множество всех точек пространства, координаты которых удовлетворяют этой системе, есть некоторая k-плоскость. Доказательство: Так как данная система (4) совместна и линейно независима, то матрица, составленная из коэффициентов при , имеет ранг .Пусть определитель, составленный из коэффициентов при ,отличен от нуля. Решив данную систему относительно этих переменных, получается: Вводя обозначения , получаем соотношения: (5) Рассмотрим плоскость , начальной точкой которой является точка , содержащую векторы , координаты которых определяются соответственно коэффициентами при в соотношениях (5). Эта плоскость согласно соотношению (1) имеет параметрические уравнения (5). Из алгебраических преобразований, следует, что координаты точек этой плоскости удовлетворяют системе (4). Соотношения (4) называются общими уравнениями k-плоскости.
Популярное: Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (203)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |