N -мерное евклидово пространство.
Пусть V - n-мерное векторное пространство над полем R вещественных чисел. Билинейной формой, определенной на векторном пространстве V, называется отображение g: , линейное по каждому аргументу, т.е. удовлетворяющее условию: и , и . Пусть на векторном пространстве V задана билинейная форма g. Возьмем в V какой-либо базис { } ( Для V имеем : и, значит, g( g( Билинейная форма g на векторном пространстве V называется вырожденной, если . Если же такого вектора не существует, то форма g называется невырожденной. По формуле ( ) для вырожденной формы имеем: (1) Это есть система линейных однородных уравнений с n неизвестными. Такая система имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда т.е. матрица G вырожденная. Отсюда следует, что билинейная форма g ,будет невырожденной тогда и только тогда, когда её матрица G невырожденная Число - скалярное произведение векторов и (его обозначают Векторы и называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю: =0. Вектор называется ортом (или единичным ), если =1. Если ,то вектор = является ортом. Базис { } евклидова векторного пространства V называется ортонормированным, если все его векторы единичные и попарно ортогональные:
Расстояние между двумя точками. Угол между векторами. 1. Расстоянием ρ (А, В) между точками А, В Еn называется длина вектора : ρ (А, В) = . (1) Возьмём в Еn ортонормированную систему координат или ортонормированный репер, т. е. такой аффинный репер R = , координатные векторы которого образуют ортонормированный базис пространства переносов V. Так как теперь · = 1, · = 0 (i ≠ j ) и, значит, gij = 1, gij = 0 (i ≠ j), то для любого вектора получим: и, следовательно, (2) Так выражается длина вектора через его координаты в ортонормированном базисе. Пусть А и В даны своими координатами в ортонормированном репере: . Тогда . (3) (1), (2), (3) Так вычисляется расстояние между двумя точками в ортонормированной системе координат. Теорема. Расстояние между двумя точками в пространстве Е n удовлетворяет неравенству треугольника Это значит, что (4)
▲Как известно, . Пусть - ортонормированный базис и Тогда Нам надо доказать, как это следует из (4), что . Здесь каждая из сумм положительна. После возведения обеих частей неравенства в квадрат, получим: (неравенство Коши – Буняковского). Таким образом, доказательство неравенства (4) сводится к доказательству неравенству Коши – Буняковского. Докажем последнее. Ясно, что . Следовательно, квадратный трёхчлен, стоящий слева, принимает только неотрицательное значения, поэтому его дискриминант , (#) откуда и следует неравенство Коши – Буняковского. ▲
Лемма. (теорема Пифагора в Еn)
▲ ▲ (*) Следствие. (*) Итак, Теорема. Если три точки А, В и С различны, то неравенство в формуле (4) имеет место тогда и только тогда, когда точка В лежит между А и ▲ А. Пусть точка В лежит между А и С,
т. е. Тогда (в обозначениях предыдущей теоремы) Вычислим левую часть формулы (#): Значит, в этом случае в формуле (4) имеем знак равенства. Б. Пусть точка В не лежит на прямой (АС):
Найдём на прямой (АС) точку D ( (такая точка называется ортогональной проекцией точки В на прямую (АС)). Ищем , т. е. и точка D определена. По следствию из леммы:
Отсюда следует, что если точка В не лежит на прямой (АС), то сумма расстояний не может быть наименьшей. Значит, равенство в формуле (4) возможно только в случае, когда точка В лежит на прямой (АС). Пусть точка В лежит на прямой (АС) и отлична от точек А и С. Тогда Возможны три случая: 1) (точка В лежит между А и С); 2) ; 3) . Докажем, что если (4') то случаи 2 и 3 не могут иметь места. В случае 2: (5) Но (5) , и так как , то Следовательно, точка А лежит между В и С и по доказанному в п0 А:
что противоречит условию (4'). В случае 3: , где , и, значит, точка С лежит между А и В. По доказанному в п0 А:
что противоречит условию (4'). Итак, если имеет место равенство (4'), то точка В лежит между А и С. ▲
Следствие. Из трёх различных точек А, В и С одной прямой всегда одна и только одна лежит между двумя другими. 2. Возьмём ненулевые векторы и какую-либо точку О. По первой аксиоме Вейля . Выпуклый угол АОВ называется углом между данными векторами . Пусть - орты векторов соответственно. Тогда Найдём вектор , такой, чтобы вектор был ортогонален вектору : Так как в пространстве Е n скалярный квадрат любого вектора неотрицателен, то Следовательно, в числовом промежутке существует число α, такое, что . Это число α называется величиной угла между векторами и обозначается обычно через . Учитывая, что , находим (**) Пример. В евклидовом пространстве Е4 дан треугольник АВС с координатами вершин А (1, -1, 2, 3), В (0, 1, -1, 1), С(2, 0, 1, -2) в ортонормированном репере. Вычислить внутренний угол треугольника при вершине А. Находим: а) ; б) и по формуле (**)
Популярное: Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (204)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |