Движения евклидова пространства.

1.Возьмём в пространстве Е_n упорядоченную пару ортонормированных реперов  и каждой точке , имеющей координаты xⁱ в репере R, поставим в соответствие точку М' с теми же координатами xⁱ относительно репера R'. Мы получим преобразование пространства Е_n, которое называется движением (или перемещением, или изометрией).

    Таким образом, движение является частным случаем аффинного преобразования аффинного пространства A_n, из которого получено евклидово Е_n, а именно: движение – это такое аффинное преобразование, которое переводит ортонормированный репер в ортонормированный.

    Движение пространства Е_n порождается (при заданной паре соответствующих точек О и О') таким линейным преобразованием пространства переносов V, которое переводит ортонормированный базис  в ортонормированный . Такое линейное преобразование евклидового векторного пространства V называют ортогональным (оно сохраняет скалярное произведение векторов). Следовательно, движение пространства Е_n порождается ортогональным преобразованием пространства переносов V.

    Так как движение – частный случай аффинного преобразования, то всякое движение: 1) сохраняет отношение трёх точек; 2) переводит отрезок в отрезок, луч в луч, k-плоскость в k-плоскость.

    В частности, движение переводит прямую в прямую с сохранением порядка точек на прямой.

    Пусть движение f пространства Е_n порождено ортогональным преобразованием  пространства переносов V. Возьмём в Е_n две произвольные точки M и N и пусть f(M) = M', f(N) = N'. Тогда . А так как  - ортогональное преобразование пространства V и, значит, сохраняет длину вектора, то

.

Следовательно, движение пространства Е_n сохраняет расстояние между двумя точками этого пространства.

    Справедливо и обратное утверждение:

    Теорема. Если преобразование f евклидова пространства Е _n сохраняет расстояние между двумя точками, то f – движение.

    ▲Возьмём три произвольные точки О, А, В. Тогда

,

.       (1)

    Пусть преобразование f переводит точки О, А, В в точки О', А', В' соответственно. Тогда можно написать равенство, аналогичное равенству (1):

.                                             (2)

    По условию теоремы правые части равенств (1) и (2) равны; следовательно, равны и левые части. Отсюда

.                                                                (3)

    Пусть  - ортонормированный репер в Е_n и, значит, векторы  единичные, попарно ортогональные. Если

f (O) = O', f (A_i) = A_i', то в силу формулы (3) векторы  тоже единичные, попарно ортогональные и, следовательно, репер  ортонормированный. Возьмём произвольную точку , и пусть f (M) = M'. Обозначим через xⁱ координаты точки М в репере R, а через yⁱ – координаты точки М' в репере R'. Тогда

и, следовательно, преобразование f есть движение. ▲

    2. Пусть V – евклидово векторное пространство размерности n. Линейное преобразование  пространства V называется ортогональным, если оно переводит ортонормированный базис  в ортонормированный базис  или, что равносильно этому, если оно сохраняет скалярное произведение векторов.

    Пусть  - матрица перехода от базиса  к базису :

.

Тогда

.

Учитывая, что базисы  и  ортонормированные, находим:

    Таким образом, матрица С обладает следующим свойством: сумма квадратов элементов каждого столбца равна единице, а сумма произведений соответствующих элементов двух различных столбцов равна нулю.

    Квадратная матрица, обладающая этим свойством, называется ортогональной.

    Заметим, что если базис  задан, то матрица С определяет линейное преобразование  (так как она определяет базис ). Поэтому можно высказать следующее утверждение6 в ортонормированном базисе  всякое ортогональное преобразование  определяется с помощью ортогональной матрицы С.

    Обратно, пусть  - ортонормированный базис евклидова векторного пространства размерности n. Возьмём какую-либо ортогональную n  n матрицу  и рассмотрим векторы . Равенства (6) и (7) показывают, что векторы  единичные и попарно ортогональные и, значит, образуют ортонормированный базис . Следовательно, линейное преобразование пространства V, переводящее базис  в базис , является ортогональным. Иначе говоря, если линейное преобразование  евклидова векторного пространства задаётся в каком-либо ортонормированном базисе при помощи ортогональной матрицы, то преобразование  ортогональное.

    Нетрудно заметить, что равенства (6) и (7) равносильны одному матричному равенству:

С'С = Е                                     (8)

(где Е – единичная матрица), или, что то же самое, равенству:

С' = С^-1.

Следовательно, матрица С ортогональная тогда и только тогда, когда транспонированная матрица С' равна обратной матрице С^-1.

(8)  (С')' = (С')^-1;

значит, если матрица С ортогональная, то и транспонированная матрица С' ортогональна.

    Далее имеем:

(8)  det (C') * det (C) = 1.            (9)

    Как известно из алгебры, det (C') = det (C), и равенство (9) принимает вид:

(det (C))² = 1  det (C) = 1,

Определитель ортогональной матрицы равен 1.

    3. Пусть движение f пространства E_n задано упорядоченной парой ортонормированных реперов . Так как движение f – частный случай аффинного преобразования, то координаты yⁱ точки М' = f(М) относительно репера R выражаются через координаты xⁱ точки М относительно того же репера по формулам вида:

что можно записать в матричной форме одним равенством:

y = Ax + a.                                            (11)

    Так как f – движение, то оно порождается некоторым ортогональным преобразованием  пространства переносов V. В формулах (10), (11) матрица  - матрица этого преобразования  в базисе  и, следовательно, А – ортогональная матрица.

    Обратно, пусть в Е_n задан ортонормированный репер . Напишем формулы (10), в которых матрица  ортогональная. Преобразование f пространства Е_n, определяемое этими формулами, является аффинным. Оно порождается таким линейным преобразованием  пространства переносов V, которое в ортонормированном базисе  задаётся ортогональной матрицей А. следовательно,  - ортогональное преобразование, а f – движение.

    Итак, если в пространстве Е_n задан ортонормированный репер R, то формулы (10) определяют движение этого пространства тогда и только тогда, когда матрица  ортогональная.

    Ортогональное преобразование  векторного пространства V переводит любой ортонормированный базис  в базис  также ортонормированный. Следовательно, движение f пространства Е_n переводит любой ортонормированный репер  в репер  также ортонормированный. Поэтому движение f можно определить заданием любой пары соответствующих ортонормированных реперов: R, R' или R₁, R₁'.

Группа движений пространства .

Обозначим через ,  множество всех движений евклидова пространства . Всякое движение f пространства  является таким преобразованием этого пространства, которое сохраняет расстояние между любыми двумя точками. Следовательно, произведение gf двух движений f и g, а также обратное преобразование f ^-1 будут преобразованиями пространства , сохраняющими расстояние между любыми двумя точками, т.е. будут движениями. Следовательно, множество  является группой (относительно умножения), она называется группой движений пространства .

Две фигуры называются конгруэнтными, если они эквивалентны относительно группы , т.е. если существует движение, которое переводит одну из этих фигур в другую.

Движение f называется движением первого (второго) рода, если в формулах: задающих это движение в ортонормированном репере , имеет место соотношение (соответственно ).

Следовательно, движение 1-го рода сохраняет ориентацию пространства (т.е. переводит репер  в репер , одинаково с ним ориентированный), а движение 2-го рода меняет ориентацию пространства (переводит репер  в противоположно ориентированный репер ).

Отметим важнейшие подгруппы группы движений.

I. Множество всех движений 1-го рода является группой (группа движений 1-го рода); движения 1-го рода сохраняют ориентацию каждого репера.

II. Множество движений всех движений, оставляющих неподвижной точку , также является группой. В ортонормированном репере  всякое движение определяется формулами (1), где , тогда   (*) или в матричной форме:  (**), где - матрица (в базисе ) того ортогонального преобразования φ пространства переносов V , которое порождает данное движение f . Как известно, принимая точку О за начало пространства с векторным пространством φ. Тогда рассматриваемоедвижение f пространства будет просто совпадать с порождающим его ортогональным преобразованием φ векторного пространства V .

Учитывая это, всякое движение называется ортогональным преобразованием пространства , а группу - группой ортогональных преобразований, этого пространства (или ортогональной группой).

Расстояние точки М от начала О является инвариантом относительно группы .

ІІІ. Ортогональные преобразования 1-го рода ( в формулах (*) ) называются вращениями пространства вокруг точки О. Множество всех вращений пространства вокруг точки О, является группой (группа вращений пространства ). Она является подгруппой группы , также подгруппой группы движений 1-го рода.

Расстояние  и ориентация репера сохраняются при любых вращениях вокруг точки О.

IV. Если в формулах (1), задающих движение, матрица единичная, то эти формулы примут вид: .

Такое движение называется параллельным переносом и вполне определяется вектором переноса . Следовательно, и в евклидовом пространстве (как и в аффинном ) мы имеем группу переносов. Параллельные переносы сохраняют любое направление в (т.е. переводят в себя каждое множество одинаково направленных лучей). Очевидно, перенос пространства - движение 1-го рода.

Рассмотрим, движения трехмерного евклидова пространства .

а) Пусть дана плоскость . Две точки и называются симметричными относительно плоскости , если плоскость перпендикулярна отрезку  и проходит через его середину. Если же , то говорят, что эта точка симметрична самой себе относительно .

Отображение f: называется симметрией относительно плоскости (или отражением от плоскости ), если точки и  симметричны относительно плоскости , .

Рассмотрим такое отображение f и примем плоскость в качестве плоскости ортонормированной системы координат . Если - координаты точки в репере , то точка имеет координаты в том же репере. Возьмем еще какие- либо две точки и симметричные относительно плоскости . Тогда, как легко подсчитать, . Отсюда следует, что f-движение.

Как известно, репер можно определить упорядоченной четверкой точек .

В симметрии относительно плоскости  точки инвариантны, а точка перейдет в точку . Следовательно, f переводит репер  в репер . Здесь определитель матрицы С перехода от базиса  к базису , и поэтому симметрия относительно плоскости есть движение II рода;

б) рассмотрим пару одинаково ориентированных ортонормированных реперов  и .

Существует движение, которое переводит репер в . Это движение называется поворотом пространства вокруг оси на угол .

Так как реперы и  одинаково ориентированы, то поворот –движение I рода. Ясно, что любая точка оси поворота инвариантна в этом повороте.

Угол поворота φ считают ориентированным, если . Именно, угол φ ориентирован положительно (отрицательно), если тройка векторов  ориентирована положительно (отрицательно). Если угол поворота , то каждая точка М переходит в симметричную ей относительно прямой точку . Это значит, что если , то , если же , то прямая перпендикулярна к отрезку  и делит его пополам. Такое движение пространства называется симметрией относительно прямой ,(это частный случай поворота, когда угол поворота );

в) произведение поворота на перенос, вектор которого параллелен оси поворота, называется винтовым движением. Поворот и перенос- движение I рода;

г) произведение поворота на отражение от плоскости , перпендикулярной оси поворота, называется поворотным отражением. Очевидно, это движение II рода. Ось s поворота, угол φ, плоскость и точка  называются соответственно осью, углом, плоскостью, и центром поворотного отражения.

Рассмотрим частный случай поворотного отражения, когда . Легко заметить, что в этом движении каждая точка  переходит в симметричную ей относительно точки О точку . Движение пространства, обладающее этим свойством, называется центральной симметрией (или отражением точки).

Теорема. Пусть  и . Произведение поворота на угол φ вокруг оси  на отражение от точки О есть поворотное отражение на угол  Осью, плоскостью и центром этого поворотного отражения служат соответственно и О.

Пусть -поворот вокруг оси на угол , g-отражение от точки О, поворот вокруг оси на угол , - симметрия относительно плоскости П. Для произвольной точки M пространства находим : ´, Так как где - симметрия относительно прямой , то точки ,  симметричны относительно оси Следовательно, точки  и  симметричны относительно плоскости П:

Итак, Поэтому  Но поворотное отражение (с осью плоскостью П и центром О) на угол .