История создания теории катастроф

Постановка задачи

Если внимательно рассмотреть различные процессы (в механике, физике, химии, технике, астрономии, биологи и прочее), то нельзя не заметить, что устойчивое равновесие при непрерывном изменении параметров системы может стать неустойчивым, а непрерывный процесс с течением времени может стать разрывным [1.C.7]. Изучение таких процессов привело к созданию математической теории, которая рассматривает некоторые общие черты самых разных явлений скачкообразного изменения режима системы в ответ на плавное изменение внешних условий и позволяет судить о взаимодействии различных событиях (казалось бы, несвязанных между собой).  

 Но эта теория часто излагается так, что многочисленные технические детали мешают ее восприятию неспециалистами. Вряд ли кто-нибудь мог бы подготовить современное и очень ясное изложение существа предмета квалифицированно, так чтобы было можно горячо рекомендовать каждому читателю, интересующемуся современными достижениями в науке и технике. Дж. Лайтхилл[1.C.7].

В связи с этим была поставлена основная задача дипломной работы - свести основные знания о теории катастроф и её приложении воедино и адаптировать их для учащихся средней школы.

Актуальность данной работы состоит в том что, данная работа способствует формированию мировоззрения (правильного представления об окружающих процессах и явлениях и об ограничениях на их предсказуемость).  

Целью данной дипломной работы является изучение математической теории катастроф и ее приложений.

Объект исследованияданной работы – процесс формирования научного мировоззрения учащихся на основе теории катастроф.

Предмет исследования – рассмотрение основных направлений приложений теории катастроф.

Цель, объект, предмет исследования позволяют сформулироватьзадачи исследования. Они состоят в следующем:

1) рассмотреть исторический аспект теории катастроф;

2) изучить основы математической теории катастроф;

3) описать все типы катастроф, которые могут иметь место в   естествознании и других науках;

4) сделать литературный обзор приложений теории катастроф;

5) рассмотреть мировоззренческий аспект теории катастроф;

6) создать факультативный курс для средних учебных заведений.

Дипломная работа состоит из введения, трех глав и заключения.

Во введении рассмотрены цели, задачи и актуальность данной дипломной работы.

Первая глава посвящена содержанию самой теории катастроф. В ней так же приводятся история становления этой теории. Особое внимание в этой главе уделено типам катастроф, приводится классификация элементарных катастроф Р.Тома.

Во второй главе собраны сведения из научной литературы по приложениям теории катастроф. Здесь приведены примеры катастроф в самых различных отраслях человеческой деятельности.

Третья глава носит оригинальный характер, так как в ней впервые предлагается факультативный курс по теории катастроф для учащихся старших классов средней школы.

В заключении приведены выводы из дипломной работы.

Глава 1. ТЕОРИЯ КАТАСТРОФ

История создания теории катастроф

Для полного понимания становления теории катастроф, необходимо начать с механики. В 1686 году Исаак Ньютон изложил экспериментальное исследование движений маятника в воздухе и воде («Математические начала натуральной философии»). Затухающие колебания такого маятника представляют наиболее типичный пример асимптотически устойчивой системы [1.C.11].

В 1744 году Леонард Эйлер использовал созданное им вариационное исчисление для рассмотрения сжатой упругой колонны [1.C.11].

Жозеф Луи Лагранж развил аналитическийэнергетический метод в механике («Аналитическая механика», 1788) [2.C.4]. Метод Лагранжа привел к фундаментальной теореме о том, что минимум полной потенциальной энергии системы является достаточным для устойчивости. Дальнейший существенный вклад в аналитическую механику принадлежит Уильяму Гамильтону, который понял, как описать векторное поле фазовых траекторий системой дифференциальных уравнений первого порядка. Результатом их деятельности стало формирование представления о консервативной (гамильтоновой) динамической системе. 

Очень быстрый рост науки и, в частности, прикладной механики привел к специализации и возникновению разнообразных версий первоначальных классических результатов [1.C.13]. Анри Пуанкаре дал набросок общей теории бифуркаций и создал общую качественную теорию динамических систем.

Математическую точность основному определению устойчивости придал А.М.Ляпунов. В докторской диссертации «Общая задача об устойчивости движения» в 1892 году он ввел обобщенные энергетические функции, носящие теперь его имя [1.C12].

Следуя по пути, предложенному А.Пуанкаре, А.Андронов и А.Понтрягин ввели в 1937 году важное топологическое понятие структурной устойчивости,которое лежит в основе последующих классификаций Тома, Зимана, Смейла и Арнольда [2.C.4]. В настоящее время, достижения качественной теории динамических систем Пуанкаре представляют большую топологическую главу основ механики вообще и теории устойчивости в частности. Дальнейшее исследование бифуркаций было проведено Койтером в его диссертации в 1945 году [1.C13]. Более позднее объяснение нелинейного поведения упругих систем под действием консервативной нагрузки предложено Будянским. Можно отметить важное обобщение Хатчинсона, относящееся к неустойчивости конструкций, нагружаемых в пластической области.

В 1955 году американский математик Хасслер Уитни опубликовал работу «Об отображениях плоскости на плоскость», заложившую основу новой математической теории — теории особенностей гладкихотображений [3.C.8]. Она стала одна из цент­ральных областей математики, связывающая абстрактные разделы математики (алгебраическую и дифференциальную геомет­рию, теорию групп, порожденных отраже­ниями, теорию комплексных пространств, коммутативную алгебру и так далее) с прикладными (теория устойчивости движения динамических систем, теория бифур­каций положений равновесия, геометрическая и волновая оптика и так далее).

Исследования, проводившиеся по изучению теории устойчивости в Университетском колледже в Лондоне (Генри Чилвером), были связаны главным образом с  дискретными консервативными системами.

Рене Тома, изучив характер работ Хаслера Уитни по теории особенностей и предшествовавших им работ А.Пуанкаре и А.Андронова по теории бифуркаций, занялся широкой пропагандой этой теории. К. Зиман ввел термин «теория катастроф», как сово­купность теории особенностей и ее приложений. Р. Тома и К. Зиман провели «параллели» между теорией катастроф и исследованиями Эйлера и Лагранжа. Ими были рассмотрены взаимосвязь инженерных и топологических подходов в ряде работ - это имело большое значение для создания единой теории бифуркаций[1.C.14].

Рене Тома сделал обзор приложений теории катастроф. Одна из его работ – «Естественнонаучные приложения теории особенностей не исчерпывают всех направлений теории катастроф» была издана в 1974 году. В 70-х гг. вышли работы Томпсона и Ханта, включающие теорию катастроф [4.C.12].

Исследование динамических систем с помощью бифуркаций проводили Л. Д. Ландау,  позже Э. Хопф, предложившие эвристическое описание перехода от ламинарного течения к турбулентному течению при возрастании числа Рейнольдса. Ландау описывал этот пере­ход через бифуркации торов все возрастающей размерности. Позже появилась масса работ, описывающих, в основном на физическом уровне строгости, переход от регулярного (ламинарного) движения к хаотиче­скому (турбулентному) движению [5.C.9].

В 80-е гг. появляются книги о теории катастроф и её применении: под редакцией А.В. Гапонова-Грехова и М.И. Рабиновича «Нелинейные волны. Структуры и бифуркации», «Нелинейные волны. Динамика и эволюция». Г.Заславский и Р.Сагдеев опубликовали «Введение в нелинейную физику. От маятника до турбулентности и хаоса». Американ­ский физик Р. Гилмор рассмотрел приложение теории катастроф в сфере точных наук.

В 1999 году в Уфимском Государственном Авиационном Технологическом Университете на специализации прикладная математика О.М.Киселёв прочитал курс лекций - «Введение в теорию нелинейных колебаний». Его цель – познакомить с методами исследования обыкновенных нелинейных уравнений.

В 2001 году в Ижевском НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика» была переведена работа французского учёного Д. Рюэля, который представил основные знания по нелинейной динамике, хаосу за последние десятилетия.

В настоящее время нелинейной динамикой в России занимается Институт радиотехники и электроники и его региональные отделения. Член-корреспондент РАН Д.И. Трубецков занялся реализацией идеи о воспитании мышления, основанного на нелинейной динамики, на базе лицея Колледжа прикладных наук и Высшего Колледжа прикладных наук (факультет нелинейных процессов Саратовского госуниверситета). Учёным был разработан 4-х годичный курс «Как работают и думают физики», включающий в себя такие дисциплины как «Нелинейные колебания», «Теория катастроф», «Динамические системы и бифуркации», «Динамический хаос». А. Кузнецов составил задачник «Колебания, катастрофы, бифуркации, хаос», содержащий теоретические и исследовательские задачи, который был выпущен в 2000 году.

Кроме этого, с теорией катастроф можно познакомиться через Интернет, а именно: http://scintific.narod.ru/nlib/books,   http://rcd.ru

Однако это далеко неполный перечень ученых, внесших вклад создание и применение теории катастроф, так как сама теория связана и с теорией колебаний и волн, и с теорией динамических систем, и с динамическим хаосом, а так же с экономикой, общей физикой, биологией, экологией, психологией и ещё с рядом наук.

Т.о. Теория катастроф родилась на стыке двух дисциплин — топологии и ма­тематического анализа, ее источниками являются теория особенностей глад­ких отображений X. Уитни и теория устойчивости и бифуркаций динамиче­ских систем А. Пуанкаре, А. Ляпунова и А. Андронова. Оба эти направления слились благодаря усилиям французского математика Р. Тома в единую стройную теорию, которая получила столь броское название — теория катастроф[5.C.11].