Математические основы теории катастроф

Математическая сторона теории весьма непроста. Но можно ведь и о самых сложных вещах рассуждать просто, как говорится, объясняясь на пальцах. Сам Эйнштейн, кстати, владел таким способом изложения своих мыслей достаточно хорошо [3.C.88].

Прикладная математика, физика, химия, а так же технические дисциплины часто являются результатом при­менения новых математических идей и методов. Поэтому и прикладная ма­тематическая теория — теория катастроф — в сочетании с современными ме­тодами системного анализа является полезным и эффективным средством анализа различных реальных процессов [1.C.8].

Рассматривать в фазовом пространстве положения равновесия, предельные циклы и перестройки системы в целом (её инвариативных множеств и аттракторов) можно осуществлять с помощью дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения, описывающие реальные физические системы, всегда содержат параметры, точные зна­чения которых, обычно, неизвестны. Поэтому уравнение, моделирующее физическую систему, оказывается структурно не­устойчивым и его решение может качественно измениться при сколь угодно малом изменении этих параметров [5.C.9]. Следовательно, при составлении дифференциальных уравнений, описывающих физические системы, необходимо учитывать, какие изменения параметров вызывают изменения системы. Однако математические модельные системы могут оказаться громоздкими  из-за большого количества входящих в них переменных, поэтому при изучении таких систем часть переменных, мало изменяющихся в ходе процесса, полагают постоянными. В результате получается система с меньшим количеством переменных, кото­рая и исследуется. Но учесть влияние отброшенных членов в исходной модели, рассматриваемой «индивидуально», обычно невозможно. В этом случае отброшенные члены можно рассматривать как возмущения.

Предметом теории катастроф является изучаемые зависимости качественной природы решений уравнений от значений парамет­ров, присутствующих в заданных уравнениях [4.C.8].

Рассмотрим решения  Ф₁(t , x ; c_a ), Ф₂( t , x ; c_a ), … системы n уравнений, определённой в пространстве R^N с координатами  x =( x ₁ , x _2, ..., x_N ),

F_i (Ф _i ; с_а; t ; d Ф _i / dt ; d ² Ф i / dt ² ,………; x_l ; d Ф _i / dx_l , d ² Ф _i / dx_l dx_m ,……)=0      (1)

1< i < n, 1< l ,     m < N,  1 < a < k,

переменные x_i и t можно считать соответственно про­странственными и временными координатами.

Решения Ф_i опи­сывают состояние некоторой системы, поэтому их называют переменными состояния.

Уравнения F_i=0 зависят от k параметров с_а (числа Рейнольдса, структурной константы, напряженности магнитного поля и так далее), т. е. они могут качественно влиять на свойства решений Ф_i, поэтому параметры с_а являются управляющими параметрами.

Не только исследование решений системы уравнений (1), но и  выявление зависимости  решений этой системы от уп­равляющих параметров с_а, является сложной задачей [5.C.9].  Чтобы ее упростить, надо сделать ряд последовательных предложений:

1.  Пусть система уравнений (1) не содержит пространственных производных любого порядка, т. е.

F_i (Ф _i ; с_а; t ; d Ф _i / dt ; d ² Ф i / dt ² ,…; x_l ; ----; ----)=0.                                              (2)

2.  Так как решение системы (2) достаточно сложно, то пусть она не зависит от всех пространственных координат х _l.

F_i (Ф _i ; с_а; t ; d Ф _i / dt ; d ² Ф i / dt ² ,………; --- ;--- ; ---)=0 .                                        (3)

3.  Пусть в решении системы (3) существуют производные по времени   не выше первого порядка и сами производные в функции F_i имеют вид:

F_i = d Ф _i / dt – f_i (Ф _i ; с_а; t ).                                                                                    (4) 

Система уравнений типа F_i = 0 определяет динамическую систему [5.C.11].

4.  Для упрощения динамической системы пусть функция f_i не зависит от времени. Тогда получится автономная динамическая система уравнений

F_i = d Ф _i / dt – f_i (Ф _i ; с_а; -)= 0.                                                                              (5) 

Автономные динамические системы, зависящие от малого числа управляющих параметров ( k <4), являются более доступными для рассмотрения [5.C.12].

5. Функция f_i схожа с силой в классической механике для консервативных сил. Тогда f_i будет антиградиентом к некоторой потенциальной функции:

f_i = - dU (Ф _i ; с_а) / d Ф _i , F_i = d Ф _i / dt + - dU (Ф _i ; с_а) / d Ф _i = 0.                        (6)

система F_i вида (6) называется градиентной системой [5.C.12].

Состояние равновесия градиентных динамических систем определяется системой уравнений d Ф _i / dt = 0, следовательно dU (Ф _i ;с_а)/ d Ф _i=0.               (7)                             

Для уравнений (7) возможны следующие случаи:

a) уравнения (7) могут не иметь решения если U (Ф _i )= Ф,  так как

dU (Ф;с_а)/ d Ф= d Ф  / d Ф=1, но 1/ 0;

b) уравнения (7) могут иметь одно решение если U (Ф _i )= Ф² ,  так как

dU (Ф;с_а)/ d Ф= d Ф²  / d Ф=2Ф=0 à Ф=0;

c) уравнения (7) могут иметь более чем одно решение если  

U (Ф _i ;с)= Ф⁴+ c Ф², c < 0 , так как

dU (Ф;с_а)/ d Ф= d (Ф⁴+ c Ф²) / d Ф=4Ф³+2сФ=0 à  три решения.

Следовательно, теория катастроф рассматривает состояние равновесия Ф _i (с_а) потенциальной функции U (Ф _i ;с_а), изменяющийся при изменении управляющих параметров с_а . Переменные состояния, от которых зависит функция U (Ф _i ; с_а) по существу являются обобщенными координатами рассматриваемой системы [5.C.13].

Обобщенная сила, действующая на систему, по­ведение которой описывается потенциальной функцией, равна антиградиенту этой функции. Если в рассматриваемой точке пространства состояний градиент потенциальной функции отличен от нуля, то сила, действующая в этой точке, также отлична от нуля (в этом случае в некоторой окрестности заданной точки можно выбрать новую систему ко­ординат, такую, что сила в этих новых координатах будет иметь единственную отличную от нуля компоненту F = - gradU / 0 (рис. 5.)).

               U(x)

                                                                      grad U(x₀)/ 0

                                                                     x₀

Рис.5.  Преобразование функции Uв линейную функцию U ->a+(y-y₀)b помощью гладкой замены координат в точке х₀, в которой градиент не равен нулю.

Для того чтобы сделать все эти рассуждения математически строгими, необходимо использовать теорему о неявной функции, согласно которой возможна гладкая (т. е. имеющая произ­водные любого порядка) замена координат:                у₁=у₁(х₁,х₂,…,х _n ),

y ₂ =у₂(х₁,х₂,…,х _n ),

……………………

y_n =у _n (х₁,х₂,…,х _n ),

в результате которой в новой системе координат имеем

U = y (+const).                                                                                           (8)

При исследовании локальных свойств потенциальной функции  в формуле (8) const можно не учитывать. (От нее мож­но также избавиться при помощи соответствующего сдвига на­чала системы координат.) [5.C.14].

Если рассматриваемая физическая система находится в со­стоянии равновесия (устойчивого или неустойчивого), то gradU =0 (но это условие противоречит условию применения теоремы о неявной функции).

При этом тип равновесия определяется собственными значениями матрицы устойчивости, или гессиана, U_ij = d ² U / dx_i дх _j.

Однако, если detU_i,/ 0 то теорема Морса, позволяет провести гладкую замену переменных, такую, что потенциальная функция может быть представлена квадратичной формой

V= h_i y_i ²                                                                                                                                                                        (9)

 Где h_i- собственные значения матрицы устойчивости V_ij , вычисленные для состояния равновесия. С учетом новой замены координат в соответствии с y_i ^’ = h_i ^{1 / 2} y_i квадратичная   форма (9) может быть приведена к морсовской канонической форме V =- y ’ _i ² -…- y ’ _{i +1} ² +…+ y ^’ _n ² = M_iⁿ ( y ’).                                   (10)                                        

Функция M_iⁿ ( y ’) получила название Морсовское i -седло[5.C.15].

Рис.6. Морсовское седло, имеющее локальный минимум в точке О (0,0,0)

Точки, в которых gradU =0, являются точками равновесия, или критическими точками, гладкой функции U ( x ₁ , х₂, ..., х_п).

Критические точки, в которых detV_ij =0, называют изолированными, невырожденными или морсовскими критическими точками [5.C.16].

Критические точки функции U ( x ₁ , x ₂ ,…,х _n ), в которых detU_ij / 0, являются неизолированными, вырожден­ными или неморсовскими критическими точками [5.C.16].

Если потенциальная функция зависит от одного или более управляющих параметров С₁, С₂, ..., то матрица устойчивости U_ij и ее собственные значения также зависят от этих парамет­ров. В этом случае вполне возможно, что при некоторых значе­ниях управляющих параметров одно (или несколько) собствен­ное значение матрицы устойчивости может (могут) обратиться в нуль [4.C.163]. Если это так, то detU_ij = 0 и, следовательно, условия, необходимые для применимости леммы Морса (gradU =0, detU_{i j} / 0) не выполняются, и в точке равновесия потенциаль­ная функция не может быть представлена в канонической форме (10) [1.C.67].

Однако можно найти каноническую форму потенциальной функции в неморсовской критической точке, если l собственных значений h ₁ ( c ),…, h_n ( c ) обращаются в нуль в h_i точке с=с₀. тогда потенциальную функцию можно расщепить на морсовскую и неморсовскую составляющие:

U(x,c)=  h_i y₁(x))²+ f_NM (y₁(x;c),…,y_l (x;c); c)+  y₁(x))²                           (11)             

Так как теорема Тома гарантирует существование гладкой замены переменных (при k < 5 нет ограничений на семейство потенциальных функций U ( x ₁ ,.. x_n ; c ₁ ,.. c_k )), то потенциальную функцию можно записать следующим образом:

f_NM (y₁(x;c),…,y_l (x;c); c) = CG(l)                                                       ( 12)

h_i y₁(x))²= Pert(l, k)

где функцию CG ( l ) называют ростком катастрофы;

   функцию Pert ( l , k ) называют возмущением [5.C.19].

Функция катастрофы Са t ( l , k )= CG ( l )+ Pert ( l , k ), представляет собой функцию l переменных (состояний) и k (управляющих) параметров. Функция катастроф  Са t ( l , k ) сводится к ростку катастрофы только тогда, когда в пространстве R^k управляющие параметры принимают значения а₁,..а _k , c ₁ ,… c_k..

 Все функции катастроф Са t ( l , k ) сканониче­ским ростком катастроф CG ( l ), где  k < 5 перечислены в таблице 1. (c.18).