Состояние машины катастроф описывается тремя числами.

Положение острия карандаша задается двумя координатами (они называются управляющими параметрами). Положение диска определяется ещеодним числом углом поворота, называемым также внутренним параметромсистемы. Если все три числа заданы, и определены степени растяжения резинок и, следова­тельно, определена потенциальная анергия всей системы. Диск поворачивается так, чтобы эту энергию минимализировать (по меньшей мере, локально). При фиксированном положении карандаша потенциальная энергия — функция от положения диска, т. е. функция, заданная на окруж­ности. Эта функция может иметь в зависимости от значений управляющих параметров один или несколько ми­нимумов (рис. 53).

Потенциальная энергия

               

Рис.53. Потенциальная энергия машины катастроф

Если при изменении управляющих параметров положение минимума меняется плавно, то скачка не происходит. Скачок происходит при тех зна­чениях управляющих параметров, для которых локальный минимум исчезает, слившись с локальным макси­мумом (рис. 53); после скачка диск оказывается в по­ложении, отвечающем другому локальному минимуму

Рассмотрим трехмерное пространство состояний ма­шины. Состояния, при которых диск находится в равно­весии, образуют в этом пространстве гладкую поверх­ность.

Если проектировать эту поверхность на плоскость управляющих параметров вдоль оси внутреннего пара­метра, то получится следующая проекция – кривая катастроф (рис. 53)  [3C.15].

Рис.53. Поверхность равновесий машины катастроф

 

Применение теории катастроф (3 часа)

Согласно геологическим данным, поверхность Земли хранит следы многих оледенений. В течение этих периодов огромные пространства Северного полушария круглый год были покрыты льдами. За последний миллион лет оледенения наступали примерно каждые 100 тыс. лет, причем их продол­жительность значительно превышала длительность (10—12,5 тыс. лет) меж­ледниковых периодов. Продвижение и отступление ледников сопровождались сменой климатических условий, что в свою очередь приводило к миграции в широких масштабах как растительных, так и животных видов. Установ­лено, что изменения климата в более поздние времена (развитие раститель­ного покрова Исландии, оледенение Гренландии) приводили также к мигра­ции людей. Довольно часто климатические изменения порождали экономиче­ские трудности. Так, внезапное похолодание, наступившее в конце «малого ледникового периода», явилось причиной катастрофического неурожая карто­феля в Ирландии. Следствием изменения климатических условий, происхо­дившего в более отдаленные времена, были проблемы социального характера, связанные с расцветом и упадком государств, изменением значимости геополитических районов (см. труды Плутарха и Ветхий Завет). В связи с этим, естественно, важно знать, произойдут ли и когда именно колебания или изменения климата в будущем. Климатические изменения, подобные тем, которые имели место в «ледниковом периоде», в наше время вызвали бы огромные экономические трудности. Резкое сниже­ние мирового производства продуктов питания, связанное с охлаждением земного шара, серьезно повлияло бы на демографический баланс, не говоря уже о том, что увеличение плотности народонаселения, обусловленное новым продвижением края северных полярных льдов до 40° северной широты, имело бы отрицательные последствия [11.C.36].

Рассмотрим движение Земли по орбите вокруг Солнца. Земля движется по

 эллиптической орбите и, казалось бы, она остается неизменной.

Однако за прошедший миллион лет эксцентриситет (отношение большой и малой полуосей) изме­нялся от 0,00 примерно до 0,06 (рис. 54) (заштрихованному шарику соответствует эксцентриситет равный нулю). Это изменение не описывается гармоническими (с одной частотой) колеба­ниями; имеется спектр частот, причем преобладают частоты, которым соответствуют периоды колебаний от 90 до 105 тыс. лет, в среднем около 93 тыс. лет (рис. 54). В данное время эксцентриситет орбиты мал. Количество энергии, поступающей в верхние слои атмосферы при почти круговой орбите и при максимальном эксцентриситете, различается на 0,1 %. Этого вполне достаточно для изменения средней температуры земной поверхности на несколько Кельвинов, что в свою очередь до­статочно для возникновения экстремальных климатических ус­ловий [12.C.11].

Полюс эклиптики

                     

Эксцентриситет

               Тыс. лет до н.э.

                 0     100      200     300    400       500

 

Рис. 54.а — изменения орбиты Земли вызваны влиянием других планет, которые лежат в одной плоскости. Эксцентриситет изменяется от 0,00 до 0,06;

б — из­менение эксцентриситета земной орбиты на протяжении последних 500 тыс. лет.

                  

Для подготовки к конференции можно предложить учащимся ряд исследовательских задач:

1. Построить график зависимости появления ледохода на реке от температуры, проанализировать полученный график (рис.55).

                                    ледоход

                                                                                       t , ⁰C

Рис.55. График зависимости появления ледохода на реке от температуры

2. Исследовать функции F ( x ; a , b )=+ x ⁴ + ax + bx ², F ( x ; a , b )= x ³ + ax.

3. Построить кривую Ван-дер-Ваальса и поверхность, определяющую состояние системы газ-жидкость. Показать, что в результате теплового возбуждения система может преодолеть энергетический барьер

 

Для подготовки к конференции можно предложить учащимся ряд практических задач:

1. Изготовить машину катастроф Зимана и показать зависимость полученной кривой от упругости и длины резинки и диаметра круга.

2. Выполнить модели различных зависимостей.

 

 

Заключение

В дипломной работе, посвященной теории катастроф и ее приложениям были получены следующие результаты:

1.  изучена математическая теория катастроф;

2.  рассмотрены элементарные катастрофы Р.Тома;

3.  самостоятельно рассмотрено катастрофа складки и сборки;

4.  собраны литературные сведения по приложениям теории катастроф в различных областях знаний;

5.  даны методические рекомендации для проведения факультативных занятий по теории катастроф для учащихся старших классов;

6.  выделена важная роль рассматриваемой теории в формировании научного мировоззрения.

 

 

Список используемой литературы:

1. Дж. М.Т. Томпсон. Неустойчивости и катастрофы в науке и технике. М.: Мир, 1985, 254 с.

2. Арнольд В.И. Гюйгенс и Барроу, Ньютон и Гук шаги математического анализа и теории катастроф, от эвольвент до квазикристаллов.-М.: Наука, 1989. – 134 с.

3. Арнольд В.И. Теория катастроф.-3-е изд., доп.-М.:Наука, 1990.-128 с.

4. Т.Постон, И.Стюарт. Теория катастроф и ее приложения. М.: Мир, 1980, 608 с.

5. Гилмор Р. Прикладная теория катастроф. М.: Мир, 1988, 345 с.

6. Голубицкий М., Гийемин В. Устойчивые отображения и их особенности: пер. с англ. Кушниренко А. Г. под редакцией Арнольда В. И.-М.: Мир, 1977.-290 с. 

7. Журавлёв Г.Е. Системные проблемы развития математической психологии.-М.: Наука, 1983.

8. Э. Найман. Теория хаоса. 12 с.

9. Стюарт И. Тайны катастрофы: пер. с франц.-М.: Мир, 1987.-76 с.

10. Баландин Р. Видения и провидения Вернадского В.И.-М.: Чудеса и приключения  №11, 1997 с.23-24.

11. Урсул А., Комаров В. Путь в ноосферу. М.: Чудеса и приключения №9, 1996 с.36-38. 

12. Орлов А. Погоду – на линию огня!-М.: Чудеса и приключения №6, 2002 с.11.

13. Баландин Р. О жизни вечной.-М.: Чудеса и приключения №12, 2000 с.45-46.

14. Зигуненко С. Как устроена машина времени? - Мн.: Полымя, 1996 254 с.

 

15. Рюэль . Случайность и хаос. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая

динамика»,2001. 456 с.