Манёвры и теория катастроф

Состояния равновесия процесса образуют поверхность

того или иного числа измерений в этом пространстве. Проекция поверхности равновесий на плоскость управ­ляющих параметров может иметь особенности [4.C.124]. Предпо­лагается, что это — особенности общего положения. В таком случае теория особенностей предсказывает геометрию «катастроф», то есть перескоков из одного состояния равно­весия в другое при изменении    

управляющих параметров.                                                                                                                                                 

Рис. 26. Проектирование поверхности на плоскость

Математическая сторона катастроф позволяет обосновать результаты,

полученные на практике (в зависимости от степени обоснованности управляющих параметров). Например, в теории хлопков упругих

конструкций и в теории опрокидывания кораблей предсказания теории полностью подтверждаются экспериментом. С другой стороны, в биологии, психологии и социальных науках (скажем, в приложениях к теории поведения биржевых игроков или к изучению нервных болезней) как исходные предпосылки, так и выводы имеют  скорее эвристическое значение.

Замкнутая система может иметь один и более устойчивых балансировочных режимов, принадлежащих к конечному или бесконечному множеству. Перевод замкнутой системы из одного балансировочного режима в другой - наиболее часто встречающийся вид маневра.

Маневр имеет смысл при переходе системы в конечный балансировочный режим, который является устойчивым режимом для данной замкнутой системы [3.C.93].

В пространстве параметров, описывающих замкнутую систему, маневр - траектория перехода от одной точки (начальный вектор состояния) к другой точке (конечный вектор состояния) (рис.27.).

     r₂ (t)

 r ₁ ( t )

Рис. 27. Проектирование поверхности на плоскость

Вектор состояния - функция времени, то есть идеальная траектория и хронологический график прохождения контрольных точек на ней.

Множество допустимых векторов состояния составляет полосу допустимых отклонений от идеальной траектории (с учетом отклонений по времени в прохождении контрольных точек на идеальной траектории).

Маневр может быть условно устойчивым, если замкнутую систему удается перевести в конечное состояние с приемлемой точностью, но возмущающие воздействия (в том числе конфликтное управление) в процессе маневра плохо предсказуемы до его начала; вследствие этого траектория перехода должна корректироваться в ходе маневра с учетом реальных отклонений. Маневр может быть завершен при условии, что в течение перехода возмущающие воздействия не превысят компенсационных возможностей замкнутой системы [4.C.367]. Это же касается ситуации конфликтного управления одним объектом со стороны нескольких субъектов. Примером такого рода условно устойчивого маневра является любое плавание эпохи парусного флота "из пункта А в пункт Б": доплыть - шансы есть, но об аварийности, сроках и маршруте можно говорить только в вероятностном смысле о будущем и в статистическом смысле - о прошлом [3.C.94]. Устойчивый маневр имеет вероятность успешного завершения, когда возмущающиеся воздействия на замкнутую систему в ходе маневра равна единице; однако, может быть сведена и к нулевой вероятностной предопределенности низкой квалификацией управленцев [4.C368]. Наглядными примерами успешного и неуспешного завершения маневра является организация деятельности различных предприятий.

Под «возмущающим воздействием» следует понимать как внешние воздействия среды, включая и конфликтность управления, так и внутренние изменения (поломки и т. п.) в замкнутой системе, поэтому, говоря об устойчивости как об ограниченности отклонений,  следует понимать предсказуемость поведения системы [4.C.368].  В экономике широко применяются модели реальных процессов, содержащие допущения (отклонения от идеала). Экономико-математическое моделирование позволяет проанализировать конкретный процесс. На рис.30. можно увидеть точки пересечением плоскостей предложения S и спроса D на осях Q (объем товаров и услуг), P (цена), E (отклонение), значение которых будет оптимальной ценой P_E.

                 P

              Q

Рис. 28. Образование оптимальной цены

В экономике и других отраслях к маневрам перехода предъявляются разные требования, но наиболее часто предъявляется требование плавности, безударности, т. е. отсутствия импульсных (ударных) нагрузок на замкнутую систему в процессе её движения по идеальной траектории маневра с допустимыми отклонениями в пространстве параметров.

В математической интерпретации это требование двукратной дифференцируемости по времени вектора состояния замкнутой системы и наложению ограничений на вектора-производные («скорость», «ускорение») во всем пространстве коридора допустимых отклонений на протяжении идеальной траектории. Снятие этого требования - перенос задачи управления в область приложений теории катастроф [5.C.436].

Другой пример явлений, изучаемых теорией «катастроф», - переход колебательного процесса из одной потенциальной ямы в другую потенциальную яму: так в шторм корабль испытывает качку относительно одного устойчиво вертикального положения. Плавное увеличение амплитудных значений крена при качке может привести к внезапному опрокидыванию корабля кверху днищем в течение интервала времени менее полупериода качки (секунды) в процессе усиления шторма, обледенения и т.п. Но и опрокинувшийся корабль может не сразу же пойти ко дну, а может еще длительное время оставаться на плаву кверху днищем, по-прежнему испытывая качку относительно своего другого, также устойчиво вертикального положения.

Область потенциально устойчивого по предсказуемости управления в пространстве параметров вектора состояния по отношению к конкретной замкнутой системе - объективная данность. В ней лежит множество объективно возможных траекторий маневров; и множество объективно невозможных. Во множестве объективно возможных траекторий можно выделить подмножество траекторий, на которых лежат точки «катастроф» [5.C.378]. С математической точки зрения это могут быть точки нарушения двукратной дифференцируемости по времени вектора состояния; точки превышения ограничений на вектора-производные; точки на границах между двумя потенциальными ямами и тому подобное. Рассмотрим железнодорожный транспорт страны, тогда: область потенциально устойчивого управления - вся территория государства; множество объективно возможных маневров - существующая сеть железных дорог. Множество объективно невозможных - всё, где нет рельсов и где невозможно по техническим причинам проложить рельсы или построить стрелочные переводы для изменения направления движения. Точки «катастроф»- неисправные пути и стрелочные переводы, слишком крутые повороты и негабаритные места, непроходимые для некоторых видов подвижного состава и локомотивов и тому подобное - это реальные возможности «катастроф». По отношению к каждому из видов груза железнодорожные узлы - точки ветвления их траекторий в вероятностном смысле. В этом примере сами «катастрофы» теории катастроф в нем представлены только реальными «катастрофами» железнодорожного транспорта, а причины срывов управления могут быть самые различные, и могут лежать на каждом этапе управления. Поэтому необходимо исследовать область, предполагаемого маневрирования, на предмет её полного включения в область потенциально устойчивого управления. Если же какие-то фрагменты области, предполагаемого маневрирования, содержат в себе точки срыва управления, выпадают из области потенциально устойчивого (при необходимом качестве) управления по причине многосвязности области, отсутствия её выпуклости и т.п., то такие зоны необходимо исключить и пролагать траектории маневров в обход них (и точек срыва управления в частности) [8.C.4]. Именно этим занимаются все квалифицированные навигаторы: при подходе к берегу, на навигационной карте они проводят границу района, запретного им для маневрирования из-за малости в нём глубин.