Применение в методике обучения

Факультативные занятия по теории катастроф призваны заинтересовать учащихся средних классов в углубленном изучении математики, рассмотреть различные явления окружающего мира с точки зрения единой математической теории и сформировать научное мировоззрение.

 

Для успешного преподавания факультативного курса по теории катастроф в старших классах учителю необходимо:

1. знать основы теории катастроф и ее применение;

2. знать методику преподавания этой теории;

3.  учитывать общие психологические закономерности процесса обучении и усвоения знаний учащихся старших классов;

4. учитывать увлечения учащихся.

 

Так как курс теории катастроф опирается на знания физики, геометрии, математического анализа, то необходимо обладать достаточными знаниями по этим дисциплинами и их методике преподавания.

 

 

Содержание факультативных занятий:

1. Введение в теорию катастроф (3 часа).

Введение в теорию катастроф играет особую роль в мотивации обучения математике, поэтому необходимо заинтересовать учащихся в необходимости познания причин катастроф на математическом языке. Кроме этого уже на первых занятиях необходимо вводить основные понятия теории катастроф и стремиться показать широкий круг применения этой теории. При введении понятий обязательно наличие демонстраций, схем, графиков. Постепенное усвоение понятий, умений и навыков способствуют овладению учащимися знаниями, умениями и навыками на высоком уровне.

 

2. История создания (1 час).

История создания теории катастроф позволяет учащимся познакомиться с интересными историческими фактами, узнать новые имена ученых, познакомиться с направлениями их научных работ.

 

3. Машина катастроф (2 часа).

Изготовить машину катастроф Зимана учащиеся могут самостоятельно, и продемонстрировать ее действие. Машина катастроф Зимана представляет собой наглядную зависимость состояния системы от параметров, что очень важно как для понимания, как самой теории катастроф, так и развития интереса к математике в целом.

 

4. Применение теории катастроф (3 часа).

Очень важно показать применение теории катастроф, чтобы у учащихся не возникало чувство отдаленности теории от практики. Кроме этого, применение полученных знаний поможет закрепить их и сформировать научное представление об окружающем мире. Необходимо найти и рассмотреть примеры доступные и понятные учащимся. Последнее занятие рекомендуется сделать открытым, на котором учащиеся (изучившие курс факультатива) могли бы продемонстрировать действие машины катастроф, зачитать доклады, устроить презентацию работ с последующим обсуждением всех работ. В результате этого занятия выступившие учащиеся получат опыт работы с литературой (поиск, анализ), публичных выступлений (поведение на публике, умение выстраивать свое видение окружающего мира) и моральное удовлетворение от проделанной работы. Учащиеся, которые только познакомились с теорией катастроф и ее приложениями, смогут научиться научному вниманию, диспуту и возможно то же заинтересуются как теорией катастроф, так и математикой в целом.

 

 

3. 2 Факультативные занятия по теории катастроф

Введение в теорию катастроф (3 часа).

В окружающем нас мире происходят различные процессы: кипит вода, автомобиль движется по дороге; белка скачет по веткам деревьев, Петров (любая другая фамилия) крутится на первой парте. Попробуйте зарисовать движение этих объектов. Какие фигуры у вас получились? Похоже ли они на прямые? А знаете ли вы, как будут двигаться белка или Петров в любой момент времени? А если будет задано начальное положение?

На эти и другие вопросы вам поможет ответить теория, которую вы будете рассматривать на факультативном курсе, который называется теорией катастроф. Курс рассчитан на 10 занятий (по 1 занятию в неделю). Вы познакомитесь с краткой историей создания теории катастроф, с основными понятиями теории и ее приложениями. Вами будет проделана практическая работа по применению теории катастроф. Вы научитесь пользоваться научной литературой и на последнем занятии сделаете достойную демонстрацию своих работ. При подготовке к занятиям используйте следующую литературу:

Т.Постон, И.Стюарт. Теория катастроф и ее приложения,

Дж. М.Т. Томпсон. Неустойчивости и катастрофы в науке и технике. Арнольд В.И. Теория катастроф

и любые другие источники, которые посчитаете важными.

 

Название «теория катастроф» было предложено Зиманом и означает теорию, которая рассматривает скачкообразные изменения, возникающие в виде внезапного ответа системы на плавное изменение внешних условий. Чтобы понять определение к рассмотрим опыт с пластмассовой линейкой. Положим линейку на две опоры (рис. 34) и начнем ставить по очереди небольшие грузики на середину линейки, в какой-то момент времени линейка выгнется и сбросит грузики. Произошла катастрофа (постепенное изменение нагрузки вызвало внезапный ответ системы).

Рис. 34. Линейка и грузики.

Построим график зависимости прогиба линейки от нагрузки.

прогиб

 

                   критическая                        нагрузка

                     нагрузка     

Рис. 35. График зависимости прогиба линейки от приложенной к ней силы.

Величина прогиба линейки приблизительно определяется положением средней точки (ординатой); при этом точка приложения силы может слегка смещаться вдоль оси абсцисс (Рис. 35) [9.С13]. Если нагрузка невелика, то линейка прогибается вверх, когда же нагрузка оказалась слишком большой, то линейка получила прогиб вниз. Линейка вышла из состояния равновесия и скинула грузики, то есть состояние линейки неустойчиво. На уроках физики вы рассматривали такие понятия как энергия, теплота, работа по ее передаче, а так же вам знакомо понятие упругое и неупругое тело. Процесс, происходящий с линейкой можно объяснить с физической точки зрения (все механические системы стремятся к тому, чтобы их потенциальная энергия была как можно меньше). Вот почему течет вода, остывают тела, стреляют рогатки [9.С18]. 

Можно построить зависимость, которая показывает, как изменяется упругая энергия линейки от ее прогиба при постоянной нагрузке (рис. 36). Пусть различные прогибы линейки называются состояниями, соответствовать ей будет ось абсцисс.

Энергия

                  А В С состояние   

Рис. 36. График зависимости энергии системы от ее состояния.

Состояниям (А, В, С) соответствуют точки на кривой, у которых значение энергии стационарно. Состояние В энергия минимальна, а в состоянии А и С максимальна. Можно представить шарик, который катиться вдоль графика, тогда, чем выше находится шарик, тем больше его потенциальная энергия. Чтобы уменьшить энергию, шарик будет катиться вниз до тех пор, пока его энергия не станет минимальной. Шарик не будет двигаться только на горизонтальных участках [9.С.19]. 

Однако состояние равновесия могут быть различными:

1. Минимальная энергия. Состояния, при котором энергия минимальна устойчивы. Если шарик немного сместить из положения равновесия, его энергия возрастет, и он вернется в исходное положение (рис. 37).

           энергия

               состояние                                

Рис. 37. График зависимости энергии от состояния.

2. Состояния, при которых энергия максимальна. Любое перемещение уменьшает энергию, и, по мере того как шарик удаляется от начального положения, он теряет все больше и больше энергии. Начальное смещение от положения равновесия имеет тенденцию к увеличению (рис.38).

Энергия

                                                        Состояние

Рис. 38. График зависимости энергии от состояния

Рассмотрим зависимость упругой энергии линейки от ее прогиба для пяти значений приложенной нагрузки (рис. 39).

Прогиб         

        А                         С          F        H

                        состояние

Рис. 39. Зависимость упругой энергии линейки от ее прогиба.

Каждому возможному прогибу соответствует некоторая энергия. Состояние равновесия – это точки, которым на кривой зависимости энергии линейки от ее прогиба соответствуют горизонтальные участки [9.С.21]. При нулевой нагрузке зависимость имеет W - образную форму (рис. 40).

Энергия

 прогиб

    D     E    F

Рис. 40. Характер зависимости энергии от состояния.

Состояния, соответствующие точкам D и F, устойчивы, а состояние, соответствующее точке Е, неустойчиво. Кривую можно разбить на три области: устойчивая, неустойчивая, устойчивая. Поэтому после того как линейка сбросила грузики, она прогнулась вниз, так как для прогиба вверх она должна преодолеть энергетический барьер (рис.41), а дополнительного воздействия извне в рассматриваемом случае нет [9.С.22]. 

                                       энергетический барьер

Новое        исходное