Основные сведения о задаче Дирихле для уравнения Лапласа
Определение. Функция , имеющая непрерывные частные второго порядка в области и удовлетворяющая внутри уравнению Лапласа, называется гармонической функцией: . Простейшим примером гармонической функции двух переменных является функция вида , где (основное решение уравнения Лапласа). Задача Дирихле в иных терминах может быть сформулирована следующим образом: найти функцию, непрерывную в данной замкнутой области , гармоническую в области и принимающую на ее границе непрерывные заданные значения. Если , то задача Дирихле удовлетворяет уравнению Пуассона Единственность решения задачи Дирихле и непрерывная запись ее от краевых условий (корректность краевой задачи) вытекают из следующих гармонических функций. Свойcтво1 (принцип максимума). Гармоническая в ограниченной области функция, непрерывная в замкнутой области , не может принимать внутри этой области значений больших, чем максимум ее значений на границе непрерывные заданные значения. Доказательство. Пусть – максимум значений на границе . Допустим, что функция в некоторой точке внутри принимает значение , причем . Составим вспомогательную функцию , где – диаметр области . Очевидно, имеем , причем при выполняется неравенство . Следовательно, функция достигает своего наибольшего значения внутри области в некоторой точке , причем в этой точке будут выполнены необходимые условия для максимума функции: . Из соотношения вытекает, что по крайней мере одна из производных или положительна внутри . Поэтому функция ни в какой конкретной точке области не может иметь максимума, и, следовательно, приходим к противоречию. Таким образом, . Аналогично доказывается, что , где – наименьшее значение функции на границе . Следствие. Пусть функция – гармоническая в ограниченной области и непрерывная в замкнутой области . В таком случае справедливо равенство , где на , на . Замечание. Можно доказать более сильное утверждение, что гармоническая в ограниченной и замкнутой области функция, отличная от константы, не принимает внутри наибольшего и наименьшего значений. Свойство II (единственность решения задачи Дирихле). Задача Дирихле для замкнутой и ограниченной области может иметь лишь единственное решение, т. е. не существует двух непрерывных гармонических функций в замкнутой ограниченной области , принимающих, на границе одни и те же значения. Доказательство. Допустим, что две функции и гармонические в области , совпадают всюду на ее границе. Рассмотрим функцию . Очевидно, что на – гармоническая функция, обращающаяся в нуль на границе. По свойству I эта функция не может принимать внутри значений больше или меньше нуля, следовательно, внутри и . Замечание. Из свойства II не следует, что задача Дирихле для ограниченной замкнутой области имеет решение; это свойство лишь утверждает, что если существует решение задачи Дирихле для области , то оно единственно. Можно доказать, что если область выпуклая, т. е. вместе с двумя своими точками содержит соединяющий их отрезок, и граница ее действительно имеет решение (теорем Неймана). Свойство III (корректность задачи Дирихле). Решение задачи Дирихле для замкнутой и ограниченной области непрерывно зависит от граничных данных. Доказательство. Допустим, что и – решения задачи Дирихле, соответственно принимающее на границе значение и . Пусть всюду на выполнено неравенство , где – произвольное малое положительное число. Рассмотрим гармоническую функцию . На границе эта функция принимает значение . Так как на , то по свойству I имеем при , т. е. или . Таким образом, для задачи Дирихле требование корректности выполнено при .
Популярное: Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (213)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |