Задача Дирихле для уравнения Пуассона и ее решение методом Монте-Карло с использованием метода сеток
В ограниченной связной области плоскости с простой границей рассмотрим дифференциальной уравнение с частными производными (1) где – искомая функция. Уравнение (1) при называется уравнением Лапласа, а при – уравнением Пуассона. Применяя метод сеток для решения краевых задач, прежде всего появляется задача замены дифференциальных уравнений разностными уравнениями. Аппроксимации дифференциального уравнения разностным заключается в том, что производные, входящие в дифференциальное уравнение, заменяются линейными комбинациями значений функции в узлах сетки по тем или иным формулам численного дифференцирования. В зависимости от того, какими формулами численного дифференцирования будем пользоваться, получим различную точность аппроксимации дифференциального уравнения разностным. Предположим, что на границе задана некоторая функция (часто пишут g( S), где — длина дуги границы, отсчитываемая от какой-нибудь фиксированной точки). Требуется найти такое решение уравнения (1), которое на границе совпадает с : . (2) Задачу об отыскании решения уравнения (3) удовлетворяющего граничному условию, называют задачей Дирихле для уравнения Пуассона. Во внутреннем узле уравнение заменим разностным (4) которое перепишем в виде (5) В граничных узлах . (6) Решение алгебраической системы при приближается к решению задачи Дирихле для уравнения (1). Перенумеруем все узлы, принадлежащие (в произвольном порядке), и перепишем в том же порядке уравнения (3), (4). Тогда получим систему вида (7) Матрица этой системы имеет следующую структуру: внутреннему узлу с номером отвечает строка , в котором четыре элемента равны ¼, а остальные – нули; граничному узлу с номером отвечает строка ; все диагональные элементы =0. (Все собственные значения такой матрицы по абсолютной величине меньше единицы.) Свободные члены этой системы , если узел внутренний, и , если узел граничный. Один из методов решения системы (5) является метод Монте-Карло. Построим данный метод для расчета - значения решения в одном заранее заданном узле. Выберем матрицу переходов Здесь – символ Кронекера: . Далее строим следующую цепь: 1) 2) если узел внутренний, то с одинаковой вероятностью ¼ выбираем в качестве номер одного из соседних с ним узлов; 3) если узел граничный, то цепь останавливается: . Рассчитываем вес вдоль цепи по правилу: пока цепь не попала на границу, далее . Вычисляем случайную величину по формуле , (8) где – номер первого выхода цепи на границу. В формуле (6) все вычисляются по формуле и лишь последнее равно значению . Замечание. Если вместо граничных условий (2) заданы более сложные условия, например: , то уравнения (6) наряду с будут содержать также значения в некоторых узлах. И случайная цепь, попав на границу, останавливаться не будет. Если количество цепей достаточно велико, то решение задачи Дирихле в узле определяется по формуле . (9)
Популярное: Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (348)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |