Метод «блуждания» по сферам
Укажем другой метод Монте-Карло для решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа, не связанный с разностными уравнениями. Пусть задана ограниченная связная область и точка . Определим случайную траекторию следующим образом: положим ; далее, если точка известна, то построим окружность произвольного радиуса , расположенную внутри , и на этой окружности выберем случайную точку (рис. 2, Приложение C). Таким образом, , где , и угол равномерно распределен в интервале . Приведем теорему: если функция удовлетворяет в области уравнению Лапласа , (1) то при каждом и при любых математическое ожидание равно значению в начале траектории. Доказательство. Придадим более точный смысл утверждению о произвольности радиуса . Будем считать, что задана некоторая плоскость , которая тождественно равна нулю при всех , превосходящих минимальное расстояние от до границы , а также при ; случай также допускается; и выбор осуществляется в соответствии с плотностью . Пусть – плотность распределения точки в . Тогда математическое ожидание величины равно . По теореме о среднем значении гармонической функции . Поэтому . При точка и . Применяя индукцию, получим утверждение теоремы. Построение траекторий рассмотренного типа в трехмерном случае иногда называют блужданием по сферам. Приведенную выше траекторию можно использовать для приближенного решения задачи Дирихле. Пусть на границе области задана ограниченная функция . Обозначим через искомое решение, удовлетворяющее внутри уравнению (1) и обращающееся в при . Фиксируем достаточно малую окрестность границы (рис. 3, Приложение D). Чтобы вычислить , будем строить траектории вида до тех пор, пока случайная точка не попадет в . Пусть – ближайшая к точка границы . Можем считать, что значение случайной величины приближенно равно . Построив траекторий такого типа, получим значения , по которым оценивается искомое решение . (2) Замети, что сходимость по вероятности , (3) когда не вытекает из теоремы Хинчина, говорящей о том, что последовательность одинаково распределенных независимых величин, у которых существуют математические ожидания, подчиняется закону больших чисел, так как в сумме (3) фигурируют различных случайных величин, различающихся правилами выбора Можно, однако воспользоваться другой формой закона больших чисел – теоремой Чебышева: Если величины независимы и существует и , то при
(Доказательство этой теоремы легко получить, применяя к величине неравенство Чебышева – ). В нашем случае все , а дисперсии , где . В самом деле, как известно, максимум и минимум гармонической функции достигаются на границе области, так что при всех . Такой метод расчета считается более быстрым, чем метод использования разностных уравнений, так как вдали от границы позволяет делать большие шаги . Обычно рекомендуют выбирать максимально возможные радиусы . Данный метод был предложен Дж. Брауном и обоснован М. Мюллером, который доказал, в частности, что вероятность того, что траектория никогда не попадет в , равна нулю. Дальнейшее развитие метода – организация зависимых испытаний, решение уравнений более общего вида, использование вместо кругов других фигур (для которых известны функции Грина).
Популярное: Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (305)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |