Философия математики Л. Витгенштейна

Выполнил: Петюшко А.А., аспирант 1 г.о. кафедры

Математической теории интеллектуальных систем

Москва, 2010
Введение

В данной статье из Стэнфордской философской энциклопедии последовательно рассматриваются взгляды Людвига Витгенштейна на философию математики в т.н. начальный период (прежде всего, это «Логико-философский трактат», 1922 г.), средний, или переходный, период («Философские заметки», 1929-1930 гг, и «Философская грамматика», 1931-1933 гг) и поздний период («Замечания по основаниям математики», 1937-1944 гг, и «Философские исследования», 1953). В целом, взгляды Л. Витгенштейна на философию математики остаются постоянными на протяжении всей его жизни, начиная с зачаточного состояния в ЛФТ, получая свое формирование в средний период, и развиваются в поздний, добавляя ко всему прочему важный критерий математического приложения, который нужен прежде всего для отличения математики от простых игр со знаками, к которым Витгенштейн прежде всего относил теорию множеств.

В ЛФТ Витгенштейн противопоставляет подлинные (контингенциальные, эмпирические) предложения математическим предожениям, заявляя, что элементарное контингенциальное предложение истинно тогда, когда соответствующий атомарный факт имеет место в реальном мире, и ложно в противоположном. Математические же предложения - это уравнения, которые показывают, что два выражения эквивалентны по значению и поэтому взаимозаменямы. «Возможность доказательства» математических предложений означает, что мы можем воспринимать их корректность без надобности сравнивать того, «что они выражают», с фактами. Т.о., математические предложения могут быть разрешены в чисто формальной, синтаксической манере.

Формальная теория математики в ЛФТ – это теория формальных операций. В частности, общая форма натурального числа дается как , где первый член в скобках – это начало ряда форм, второй – форма элемента x, произвольным образом выбранного из ряда, а третий член – форма элемента, который непосредственно следует за x в этом ряду.

Также в статье приводятся доказательства, почему, несмотря на кажущееся сходство, философия математики Витгенштейна в ЛФТ не является вариантом логицизма.

В средний период, начало которому было положено, как считается, лекцией «Наука, математика и язык» Л. Брауэра в начале 1928 г., основными моментами являются финитизм, разрешимость и отношение Витгенштейна к иррациональным числам и теории множеств.

В этот период Витгентейн явно следует усиленному формализму, говоря, что «мы создаем математику», а математические символы «не представляют» вещи. Единственное значение (т.е., смысл), которое имеет математическое предложение, - это внутрисистемное значение, которое полностью определяется своими синтаксическими связями с другими предложениями исчисления. Также, Витгенштейн утверждает, что внешнее приложение математики – вовсе не обязательное условие математического исчисления.

Для понимания финитизма Витгенштейна в средний период нужно ясно себе представлять различие между математическими экстенциями (например, символы, конечные множества, конечные последовательности, предложения, аксиомы) и математическими интенциями (например, правила вывода и преобразования, иррациональные числа как правила), которые составляют всю полноту математики. Витгенштейн не принимал бесконечных экстенций, для него «математическая бесконечность» существует только в рекурсивных правилах (интенциях). Из этого следует как то, что иррациональные числа – это правила, так и то, что все математические предложения разрешимы, ибо конечны. Подобным образом он отвергал и навешивание кванторов над бесконечной областью определения. Наши же заблуждения о «бесконечности» происходят из-за того, что мы смешиваем понятия «интенция» и «экстенция».

Что же касается разрешимости, то Витгенштейн в средний период определяет математическое исчисление (и математическое предложение) в эпистемологических терминах: выражение является значащим предложением в данном исчислении если только оно уже разрешено (и т.о. доказана его истинность или ложность), или мы знаем применимую процедуру разрешимости. Неразрешимых значащих предложений в математике нет, что позволяет использовать закон исключенного третьего – математическое предложение либо истинно, либо ложно.

Интересна позиция Витгенштейна в средний период в вопросе о математической индукции. Если ранее мы использовали в качестве шага индукции «  n(φ(n) →φ(n + 1))», а в качестве утверждения – «  nφ(n)», то Витгенштейн предлагает использовать вместо них «n(φ(n) →φ(n + 1))» и «φ(m)», учитывая, что ‘m’ есть любое конкретное число, в то время как ‘n’ – это любое произвольное число. Это сделано из-за того, что, поскольку мы не можем навешивать кванторы над бесконечной областью определения, то изначальный шаг индукции и утверждение – не значащие математические предложения, и их необходимо подправить. Хотя индуктивное доказательство не может доказать «бесконечную возможность применения», оно позволяет нам «осознать», что прямое доказательство любого конкретного предложения может быть построено в конструктивной манере.

Несмотря на то, что Витгенштейн считал гипотезу Гольдбаха и ей подобные бессмысленными гипотезами, однако он оставлял за ними право дать математику стимул для расширения исчисления. Если, например, нам удастся доказать гипотезу Гольдбаха методом математической индукции (т.е., мы докажем “G(1)” и “G(n) →G(n + 1)”), то мы получим доказательство индуктивного шага, но поскольку индуктивный шаг не был предварительно алгоритмически разрешим, то при конструировании доказательства мы построили новое исчисление. До доказательства индуктивный шаг не является осмысленным математическим предложением (в конкретном исчислении), тогда как после доказательства шаг индукции уже является математическим предложением с новым, определенным смыслом, и в новом, только что созданном исчислении.

В средний период Витгенштейн много времени уделял вопросу действительных и иррациональных чисел. По мнению Витгенштейна, иррациональное число является экстенцией только в той мере, что оно написано знаком (например, ‘√2’ или ‘π’). По сути же оно ялвяется уникальным рекурсивным правилом, или законом – т.е., интенцией. При непрерывном движении из т. А в т. Б по числовой прямой мы должны замести не только рациональные числа, но и иррациональные. Но поскольку «множество всех рекурсивных иррациональных» все еще оставляет зазоры, то существуют еще и иррациональные, «не подчиняющиеся закону». Однако, по мнению Витгенштейна, т.к. на числовой прямой изначально нет никаких зазоров, и поскольку нет такой вещи, как математический континуум, псевдо-иррациональные не подчиняющиеся закону иррациональные и не нужны для теории действительных чисел. Также, на основании введенных им критериев действительного числа, Витгенштейн показывает, что не все рекурсивные действительные числа – подлинно действительные числа (т.е., являются псевдо-иррациональными).

Критика теории множеств Витгенштейна в средний период основывается на двух вещах. Во-первых, в теории множеств смешиваются понятия интенции и экстенции в области бесконечности. Во-вторых, Витгенштейн критикует принятую в теорию множеств идею о трактовке несчетности в качестве мощности множества.

В поздний период философия математики Витгенштейн почти полностью повторяет оную в средний период, дополняя и развивая ее. Так, если раньше Витгенштейн говорил, «мы создаем математику», то теперь он говорит «мы изобретаем математику». Изобретая новое доказательство, мы изобретаем новое математическое исчисление. В своей критике теории множеств Витгенштейн подчеркивает, что понятие «действительное число» имеет мало общего с понятием «мощность множества», однако люди зачастую смешивают эти понятия.

Принципиальное и наиболее значительное отличие от публикаций Витгенштейна в средний и поздний период – введение критерия внешнего по отношению к математике приложения, который используется для различения простых «игр со знаками» от математических языковых игр. Причинами можно назвать: во-первых, т.о. Витгенштейн подчеркивал, что математика играет разнообразные прикладные роли во многих формах человеческой деятельности, а во-вторых, внешне-математическое приложение смягчает напряжение между критикой Витгенштейна в средний период теории множеств и его сильным формализмом, согласно которому «одно исчислении ничем не лучше другого». Т.о., отделяя математические языковые игры от нематематических игр со знаками, Витгенштейн мог заявить, что «на тот момент» теория множеств – это просто игра со знаками. Теория множеств – неинтересна и бесполезна, по его мнению. Но, тем не менее, вопрос, является ли предложение предложением данного математического исчиления – это внутренний, синтаксический вопрос, никаким образом не связанный с внешне-математическим приложением.

Также, в конце статьи излагается взгляды Витгенштейна на теоремы Геделя, и доказывается, что Витгенштейн их неправильно толковал (и т.о. пытался опровергать рассуждения Геделя).

В заключении статьи становится понятным, что главная цель Витгенштейна в области философии математики было предоставить «философскую ясность» на многие аспекты математики. Математики будущего, по его мнению, будут стремиться к упрощению математических конструкций, и философская ясность, в итоге, позволит математикам и философам «возвратиться к неопровержимым фактам».