Конструктивный формализм Витгенштейна

Для того, чтобы лучше понять переходную философию математики Витгенштейна, нужно полностью оценить его усиленный формализм, согласно которому «мы создаем математику» (WVC 34, Ft. #1; PR §159), придумывая чисто формальные математические исчисления с «фиксированными» (?stipulated) аксиомами (PR §202), синтаксическими правилами преобразования и процедурами разрешимости, которые позволяют нам ввести в обращение «математическую истинность» и «математическую ложность» путем алгоритмической разрешимости так называемых математических «предложений» (PR §§122, 162).

Основная идея формализма Витгенштейна с 1929 (если не с 1918) по 1944 – математика по существу синтаксическая, лишенная отношений и семантики. Наиболее очевидный момент этой точки зрения, которой придерживается целый ряд комментаторов, не отосящих Витгенштейна к «формалистам» [(Kielkopf 1970, 360-38), (Klenk 1976, 5, 8, 9), (Fogelin 1968, 267), (Frascolla 1994, 40), (Marion 1998, 13-14)], состоит в том (контр Платонизм), что знаки и предложения математического исчисления не соотносятся ни с чем. Как пишет Витгенштейн в (WVC 34, Ft. #1), «числа не представлены чем-то; числа есть». Это значит, что не только используемые числа есть, это значит, что символы чисел (нумералы) есть числа, т.к. «арифметика не говорит о числах, она работает с числами» (PR §109).

То, чем занимается арифметика, есть схема | | | |. – Но говорит ли арифметика о линиях, которые я рисую карандашом на бумаге? - Арифметика не говорит о линиях, она работает с ними. (PG 333)

В том же духе Витгенштейн говорит, что (WVC 106) «математика – это всегда машина, исчисление» и «исчисление – это счеты, калькулятор, счетная машина», которая «работает с помощью штрихов (?strokes), нумералов и т.д.». «Подтвержденная сторона формализма», согласно Витгенштейну (WVC 105), состоит в том, что математические символы «теряют значение» (т.е., ‘Bedeutung’) – они не «представляют» вещи, которые «сами по себе являются значениями».

Вы могли бы сказать, что арифметика – это род геометрии; т.е. то, что в геометрии является конструкциями на бумаге, в арифметике есть вычисления (на бумаге). – Вы могли бы сказать, что это более общая форма геометрии. (PR §109; PR §111)

Это – ядро формализма Витгенштейна на протяжении все его жизни. Когда мы доказываем теорему или разрешаем предложение, мы оперируем в чисто формальной, синтаксической манере. Занимаясь математикой, мы не открываем ранее известные истины, которые были «уже и так известны до того, как их кто-то узнал» (PG 481) – мы изобретаем математику, кусочек за кусочком. «Если вы хотите знать, что значит 2 + 2 = 4», говорит Витгенштейн, «вы должны спросить, как мы это получили», потому что «мы рассматриваем процесс вычисления как существенную вещь» (PG 333). Поэтому, единственное значение (т.е., смысл), которое имеет математическое предложение, - это внутрисистемное значение, которое полностью определяется своими синтаксическими связями с другими предложениями исчисления.

Вторым значительным моментом переходного сильного формализма Витгенштейна является его точка зрения о том, что внешнее приложение математики (и/или ссылка на него) - не обязательное условие математического исчисления. Математические исчисления не требуют внешних математических приложений, аргументирует Витгенштейн, т.к. мы «можем развить арифметику полностью автономно, и ее приложение обеспечивает себя, т.к. где бы оно не было применимо, мы можем также применить его» (PR §109; ср. с PG 308, WVC 104).

Как мы скоро увидим, средний Витгенштейн был причислен к сильному формализму из-за нового интереса к вопросам разрешимости. Несомненно, под воздействием от работ Брауэра и Дэвида Гильберта, Витгенштейн использует сильный формализм для постулирования новой связи между математической значимостью и алгоритмической разрешимостью.

Уравнение – это правило синтаксиса. Разве это не объясняет, почему у нас не может быть вопросов о математике, которые принципиально не имеют ответа? Т.к. если правила синтаксиса не могут быть охвачены, они совершенно бесполезны... [Это] делает понятными попытки формалиста видеть математику как игру со знаками. (PR §121)

В разделе 2.3, мы увидим как Витгенштейн идет дальше как Гильберта, так и Брауэра, сохраняя закон исключенного третьего таким образом, который ограничивает математические предложения до выражений, которые алгоритмически разрешимы.

Финитизм Витгенштейна

Главное отличие раннего Витгенштейна от среднего заключается в том, что в средний период он отвергает кванторы над бесконечной областью определения, заявляя, в противоположность ЛФТ, что такие «предложения» не являются бесконечными конъюнкциями и бесконечными дизъюнкциями просто потому, что такого не существует.

Принципиальные причины для развития конечной (финитной) философии математики:

1. Математика – это человеческая выдумка: согласно среднему Витгенштейну, мы придумываем математику, из чего следует, что математика и так называемые математические объекты не присутствуют независимо от наших измышлений. Чем бы ни была математика, на самом деле это продукт человеческой деятельности.

2. Математические исчисления состоят исключительно из интенций (?intensions) и экстенций (?extensions): при условии, что мы придумали только математические экстенции (например, символы, конечные множества, конечные последовательности, предложения, аксиомы) и математические интенции (например, правила вывода и преобразования, иррациональные числа как правила), эти экстенции и интенции, а также исчисления, которые из них состоят, составляют всю полноту математики. (Нужно заметить, что использование Витгенштейном понятий «экстенция» и «интенция» в отношении математики значительно отличается от стандартного современного их использования, в котором экстенция предиката – это множество сущностей, которые удовлетворяют предикату, а интенция – это значение предиката (или то значение, которое им выражается). Вкратце, Витгенштейн полагает, что расширение понятия «концепт-и-экстенция» из области существующих (т.е., физических) объектов в т.н. область «математических объектов» основывается на ложной аналогии и порождает понятийное заблуждение. См. #1 ниже)

Эти две причины имеют по крайней мере пять прямых следствий для философии математики Витгенштейна.

1. Отказ от бесконечных математических экстенций: при условии, что математическая экстенция – это символ («знак») или конечное соединение символов, простирающееся в пространстве, есть категориальная разница между математическими интенциями и (конечными) математическими экстенциями, из которой следует что «математическая бесконечность» существует только в рекурсивных правилах (т.е., интенциях). Бесконечная математическая экстенция (т.е., завершенная бесконечная математическая экстенция) – это противоречие в терминах.

2. Отказ от неограниченной кванторизации в математике: учитывая, что единственной бесконечностью в математике может только рекурсивное правило, и учитывая, что математическое предложение должно иметь смысл, получаем, что не может быть бесконечного математического предложения (т.е., бесконечного логического произведения или бесконечной логической суммы)

3. Алгоритмическая разрешимость и неразрешимость: если математиские выражения всех типов обязательно конечные, то, по существу, все математические предложения алгоритмически разрешимы, из чего следует, что «неразрешимые математические предложения» - это противоречие в терминах. Даже более, т.к. математика – это, по существу, то что мы имеем и то что мы знаем, Витгенштейн ограничил алгоритмическую разрешимость до знания каким образом устанавливать разрешимость предложения на основе известной процедуры проверки разрешимости.

4. Анти-фундаменталистское мнение о действительных числах: т.к. не существует бесконечных математических экстенций, иррациональные числа – это правила, а не экстенции. Учитывая, что бесконечное множество – это рекурсивное правило (или индукция), и нет такого правила, которое смогло бы породить все объекты, которые математики называют (или хотят называть) «действительными числами», получаем, что не существует множества «всех» действительных чисел, и что нет такой вещи, как математический континуум.

5. Отказ от различных бесконечных мощностей: учитывая, что не существует бесконечных математических экстенций, Витгенштейн отвергает стандартную интерпретацию дигонального доказательства Кантора как доказательство существования бесконечных множеств как более, так и менее мощных.

Т.к. мы изобретаем математику в ее целостности, мы не исследуем предсуществующие математические объекты или факты, или что математические объекты имеют определенные свойства, т.к. «человек не может найти какую-либо связь между частями математики или логики, которая уже существовала без знания человека о ней» (PG 481). Рассматривая математику как чисто человеческое изобретение, Витгенштейн пытается определить, что именно мы придумали и именно почему, по его мнению, мы ошибочно думаем что существуют бесконечные математические экстенции.

Если, для начала, мы рассмотрим то, что мы придумали, мы увидим, что наше изобретение – формальные исчисления, состоящие из конечных экстенций и интенциональных правил. Если, что еще более важно, мы попытаемся определить, почему мы верим, что бесконечные математические экстенции существуют (например, почему мы верим, что актуальная бесконечность присуща математике), мы увидим, что мы объединяем математические интенции и математические экстенции, ошибочно полагая, что есть «дуализм» «закона и бесконечного ряда, подчиняющегося ему» (PR §180). Например, мы думаем, что т.к. действительное число «представляется бесконечным числом разрядов десятичной дроби» (PR §186), это есть «общность» (WVC 81-82, Ft. #1), когда на самом деле «иррациональное число – это не экстенция бесконечной десятичной дроби... это закон» (PR §181), который «порождает экстенции» (PR §186). Закон и список принципиально различны, ни один из них не может «дать» того, что может другой (WVC 102-103). Действительно, «ошибка в теоретико-множественном подходе состоит во времени и опять в трактовке законов и перечислений (списков) как существенно похожих вещей» (PG 461).

Тесно связан с этим объединением интенций и экстенций тот факт, что мы ошибочно трактуем слово «бесконечный» в качестве «слова, обозначающего число», т.к. в обычном рассуждении мы отвечаем на вопрос «как много» и так, и так (PG 463; cf. PR §142). Но ««бесконечный» - это не количество», настаивает Витгенштейн (WVC 228); слово «бесконечный» и слово, обозначающее число навроде «пяти», имеют разный синтаксис. Слова «конечный» и «бесконечный» не работают как прилагательные для слов «класс» или «множество» (WVC 228), т.к. выражения «конечный класс» и «бесконечный класс» используют слово «класс» совершенно по-разному. Бесконечный класс – это рекурсивное правило «индукции», в связи с чем символ конечного класса – это список или экстенция (PG 461). Все этого из-за того, что индукция имеет много общего с множественностью конечного класса, которое мы по ошибке называем бесконечным классом (PR §158).

В итоге, т.к. математическая экстенция – это всегда конечная последовательность символов, бесконечная математическая экстенция – это противоречие в терминах. Это – основа финитизма Витгенштейна. Т.о., когда мы говорим, например, что «есть бесконечно много четных чисел», мы не говорим «есть бесконечное число четных чисел» в том же смысле, в котором мы можем сказать «в этом доме есть 27 человек»; бесконечный ряд натуральных чисел есть ни что иное как «бесконечная возможность конечного ряда чисел» - «это бессмысленно говорить о целом бесконечном ряде, как если бы он был экстенцией» (PR §144). Бесконечность понимается правильно, если оно понимается не как количество, а как «бесконечная возможность» (PR §138).

Учитывая отказ от бесконечных математических экстенций, Витгенштейн принимает конечные, конструктивные взгляды на математическую кванторизацию, математическую разрешимость, природу действительных чисел, и диагональное доказательство Кантора существования бесконечных множеств больших мощностей.

Т.к. математическое множество – это конечная экстенция, мы не можем значимо навешивать кванторы над бесконечной математической областью определения, просто потому, что не существует такой вещи как бесконечная математическая область (например, общность, множество) и, как следствие, нет таких вещей как бесконечные конъюнкции или дизъюнкции [(Moore 1955, 2-3); cf. (AWL 6) и (PG 281)].

По-прежнему, все сейчас выглядит так, что кванторы не имеют смысла для чисел. Я имею в виду: вы не можете сказать ‘(n) φn’ именно потому, что «все натуральные числа» - это неограниченная идея. Поэтому никто не должен говорить, что общее предложение следует из предложения о природе числа.

Но в этом случае, кажется мне, что мы не можем использовать общность – все, и т.д. – вообще во всей математике. Нет такой вещи как «все числа», просто потому что их бесконечно много (PR §126; PR §129).

 «Экстенционалисты», которые утверждают, что “ε(0).ε(1).ε(2) и так далее” – это бесконечное логическое умножение (PG 452), полагают или утверждают, что конечные и бесконечные конъюнкции очень близки – а тот факт, что мы не можем написать или перечислить все элементарные конъюнкты, «содержащиеся» в бесконечной конъюнкции, это только «человеческая слабость», т.к. Бог мог бы несомненно так сделать, и несомненно он мог бы обозреть всю конъюнкцию одним взглядом и определить ее истинность. Согласно Витгенштейну, однако, это не следствие человеческой ограниченности. Т.к. мы ошибочно полагаем, что «бесконечная конъюнкция» похожа на «огромную конъюнкцию», мы ошибочно делаем вывод, что т.к. мы не можем определить истинность огромной конъюнкции вследствии отсутствии необходимого времени, мы похожим образом не можем, из-за человеческой ограниченности, определить истинность бесконечной конъюнкции (или дизъюнкции). Но различие здесь не только в степени, но и в качестве: «в смысле, в котором невозможно проверить бесконечное число предложений, так же невозможно даже попытаться сделать это» (PG 452). Это применимо, по Витгенштейну, к людям, но что более важно, это применимо также и к Богу (т.е., ко всезнающему существу), т.к. даже Бог не может написать или обозреть бесконечно много предложений, поскольку для него также ряд бесконечный или неограниченный, и поэтому эта «задача» не является настоящей задачей, потому что это не может быть сделано принципиально (т.е., «бесконечно много» - это не обозначающее число слово). Как Витгенштейн пишет в (PR 128; ср. с PG 479): ««Может ли Бог знать все знаки после запятой числа π?» мог бы быть хорошим вопросом для схоластиков», т.к. этот вопрос определенно «бессмысленен». Как мы скоро увидим, по мнению Витгенштейна, «утверждение о всех числах не представляется посредством предложения, но представляется посредством индукции» (WVC 82).

Подобным образом, также не существует такой вещи как математическое предложение о некотором числе – нет такой вещи как математическое предложение, которое существенно может быть кванторизовано над бесконечной областью определения (PR §173).

Каково значение такого математического предложения ‘( n) 4 + n = 7’? Это может быть дизъюнкцией - (4 + 0 = 7) (4 + 1 = 7) и т.д. до бесконечности. Но что это значит? Я могу понять предложение с началом и концом. Но может ли кто-нибудь также понять предложение без конца? (PR §127)

Мы в особенности соблазняемся чувством или верой, что применение бесконечной математической дизъюнкции имеет здравый смысл в случае, когда мы можем предложить рекурсивное правило для порождения каждого следующего члена бесконечной последовательности. Например, когда мы говорим «Существует нечетное идеальное число» мы полагаем, что в бесконечной последовательности нечетных чисел найдется (по крайней мере) одно нечетное число, являющееся идеальным – мы полагаем «φ(1) φ(3) φ(5)  и т.д.» и мы знаем, что сделает это предложение истинным, а что – ложным (PG 451). Ошибкой здесь, согласно Витгенштейну (PG 451), является то, что мы неявно «сравниваем предложение “(  n)…” с предложением «На этой странице есть два иностранных слова»», которое не имеет грамматики первого «предложения», а только показывает аналогию в их соответствующих правилах.

С точки зрения переходного финитизма Витгенштейн, выражение с кванторами над бесконечной областью определения никогда не является значащим предложением, даже тогда, когда мы доказали, например, что некоторое число n имеет некоторое свойство.

Важно, что даже если мне дано 3^2+4^2=5^2, я не должен говорить «( x, y, z, n) (x^n+y^n=z^n)” , т.к. с точки зрения экстенции это бессмысленно, а с точки зрения интенции не дает нам доказательства. Нет, в таком случае я должен отразить только первое уравнение. (PR §150)

Т.о., Витгенштейн придерживается радикальной позиции, что все выражения с навешенными кванторами над бесконечной областью определения, являются ли они «гипотезами» (например, гипотеза Гольдбаха, гипотеза простых чисел-близнецов) или «доказанными общими теоремами» (например, «теорема Евклида о простых числах», фундаментальная теорема алгебры), все равно они не имеют значения (т.е., «бессмысленны»; «sinnlos») по сравнению с «подлинными математическими предложениями» (PR §168). Эти выражения – не (значащие) математические предложения, согласно Витгенштейну, т.к. закон исключенного третьего не применим, что значит что «мы не имеем дело с предложениями математики» (PR §151). Принципиальный вопрос почему и в каком точно смысле закон исключенного третьего не применим к таким выражениям, будет рассмотрен в следующем разделе.