Витгенштейн о математике в Трактате

Формалистская, не привязанная к реальности концепция Витгенштейна в отношении математических утверждений и терминов берет свое начало в ЛФТ [2]. Действительно, он делает набросок своей Философии математики в ЛФТ, противопоставляя математику и математические уравнения с подлинными (контингенциальными) утверждениями, смыслом, мышлением, пропозициональными знаками и их составляющими именами, и истиной-в-соответствии.

В ЛФТ Витгенштейн утверждает, что подлинное предложение, которое опирается на общепринятые соглашения, используется нами для обозначения, что положение дел (т.е., элементарный или атомарный факт; ‘Sachverhalt’) или факт (т.е., несколько положений дел; ‘Tatsache’) имеет место только в реальном мире. Элементарное предложение изоморфно возможному положению дел, которое оно представляет: оно должно содержать столько же имен, сколько объектов в возможом положении дел. Элементарное предложение истинно тогда и только тогда, когда соответствующее возможное положение дел (т.е., смысл; ‘Sinn’) имеет место. Витгенштейн четко обозначил эту теорию соответствия истине в (4.25): «Если элементарное предложение истинно, то атомарный факт существует; если элементарное предложение ложно, то атомарный факт не существует.» Но предложения и их языковые части мертвы – предложение имеет смысл только потому что мы, человеческие существа, снабжаем их общепринятым смыслом (5.473). Более того, пропозициональные знаки могут быть использованы для совершения любого числа вещей (например, обидеть, привлечь чье-то внимание); для обозначения того, что положение дел имеет место, человек должен «проецировать» смысл предложения – его возможного положения дел – путем «мышления» (например, воображая) этого смысла, во время разговора, письма или мыслей об этом предложении (3.11). Витгеншейн связывает использование, смысл, соответствие и истину, говоря «предложение истинно, если мы используем его для того, чтобы сказать о том, что имеет место» (4.062).

Идеи ЛФТ о подлинных (контингенциальных) предложениях и (оригинальная и) основная концепция истины используются для построения теорий логических и математических «предложений» путем противопоставления. Сформулированные отчетливо и прямо, тавтологии, противоречия и математические предложения (т.е. математические уравнения) не истинны и не ложны – мы говорим, что они истинны или ложны, но делая т.о., мы используем слова «истина» и «ложь» совершенно не в том смысле, в каком мы говорили, что контингенциальные предложения истинны или ложны. В отличие от подлинных предложений, тавтологии и противоречия «не имеют «содержания»» (?subject-matter) (6.124), “в них отсутствует смысл” и «они ничего не говорят» о мире (4.461), аналогичным образом математические уравнения являются «псевдо-предложениям» (6.2), которые, будучи «истинными» («корректными»; ‘richtig’ (6.2321)), «всего лишь означают ... эквивалентность значений [“двух выражений”]» (6.2323). С учетом того, что «тавтологии и противоречия являются предельными случаями – на самом деле, их исчезновением – сочетания знаков» (4.466), где «условия соглашения с миром – репрезентативные связи – отменяют друг друга, т.о. что они не состоят ни в какой репрезентативной связи с реальностью», тавтологии и противоречия не описывают реальность или возможные положения дел и возможные факты (4.462). Другими словами, тавтологии и противоречия не имеют смысла, что значит, что мы не можем их использовать для составления высказываний, что в свою очередь значит, что они не могут быть ни ложными, ни истинными. Аналогично, математические псевдо-предложения – это уравнения, которые показывают, что два выражения эквивалентны по значению и поэтому взаимозаменямы. Действительно, мы приходим к математическим уравнениям «методом подстановки»: «начиная с некоторого числа уравнений, мы переходим к новым уравнениям путем подстановки некоторых выражений в соответствии с уравнениями» (6.24). Мы доказываем математические «предложения», полагая их «истинными» («корректными»), «замечая», что два выражения имеют одинаковые значения, которое «должно быть ясно видно по ним самим» (6.23), и замещая одно выражение другим с тем же значением. Подобно тому как «человек может распознать, что [«логические предложения»] истинны из символа самого по себе» (6.113), «возможность доказательства» математических предложений означает, что мы можем воспринимать их корректность без надобности сравнивать того, «что они выражают», с фактами (6.2321; сравните с (RFM App. III, §4)).

Разграничение между контингенциальными предложениями, которые могут использоваться для корректного или некорректного представления частей мира, и математическими предложениями, которые могут быть разрешены в чисто формальной, синтаксической манере, сохраняется у Витгенштейна вплоть до его смерти в 1951 (Zettel §701, 1947; PI II, 2001 Ed., стр. 192-193e, 1949). При данных языковых и символических соглашениях, истинное значение контингенциального предложения – это исключительно функция мира вокруг, тогда как «истинное значение» математического предложения – это целиком функция слагающих его символов и формальной системы, частью которой они являются. Т.о., второй, тесно связанный путь декларирования этого разграничения – это сказать, что математические предложения разрешаются чисто формальным способом (например, вычислениями), в то время как контингенциальные предложения, будучи предложениями о «внешнем» мире, могут быть разрешены, если это вообще можно сделать, путем определения, имеет место или нет конкретный факт (т.е., что-то внешнее для предложения и используемого языка) (2.223; 4.05).

Формальная теория математики в ЛФТ является, в частности, теорией формальных операций. За последние 10 лет теория операций Витгенштейна получила основательную проверку [(Frascolla 1994; 1997), (Marion 1998), (Potter 2000), и (Floyd 2002)], которая интересным образом связала эту теорию и теорию уравнений арифметики ЛФТ с элементами -исчисления Алонзо Черча (Alonzo Church) и исчислением уравнений Р.Л.Гудштейна (R. L. Goodstein) (Marion 1998, Главы 1, 2, и 4). Если очень кратко, то Витгенштейн определяет:

a. … знак ‘[a, x, O’x]’ как общий термин для ряда форм a, O’a, O’O’a, …. (5.2522)

b. … общую форму операции  [как]

. (6.01)

c. … общую форму предложения (“функция истинности”) [как] . (6)

d. Общую форму целого [натурального числа] [как] . (6.03)

добавляя, что «концепция числа это... общая форма числа» (6.022). Как подметил Frascolla (и Marion позднее), «общая форма предложения – это частный случай общей формы «операции»» (Marion 1998, стр. 21), и все три общие формы (т.е., операции, предложения и натурального числа) строятся на основе переменной в (5.2522) (Marion 1998, стр. 22). Определяя «операцию как выражение связи между структурами ее результатов и ее оснований» (5.22), Витгенштейн отмечает, что в связи с тем что «функция не может быть собственным аргументом,... операция может принимать один из своих результатов за свое основание» (5.251).

По описанию Витгенштейна ‘[a, x, O’x]’ (5.2522),  «первый член выражения в скобках – это начало ряда форм, второй – это форма элемента x, произвольным образом выбранного из ряда, и третий [O’x] – это форма элемента, который непосредственно следует за x в этом ряду». С учетом того, что «идея последовательных применений операции эклвивалентна идее «и так далее»» (5.2523), можно понять, как натуральные числа могут быть порождены повторяющимися итерациями общей формы натурального числа, а именно « ». Подобным образом функционально-истинностные предложения могут быть порождены, как пишет Рассел во введении к ЛФТ (p. xv), общей формой предложения « » путем «взятия любого набора атомарных предложений [где p «обозначает все атомарные предложения»; «черта над переменной обозначает, что она принимает все свои значения» (5.501)], применения ко всем ним операции отрицания, после чего выбирается любой набор новых предложений вместе с изначальными [где x «обозначает любое множество предложений»] – и так далее до бесконечности». По мнению Frascolla (1994, 3ff), «числовое тождество «t = s» - это теорема арифметики тогда и только тогда, когда соответствующее уравнение « », которое содержится в языке общей теории логических операций, может быть доказано». Доказывая «уравнение « », которому соответствует арифметическое тождество “2 × 2 = 4” в языке операций» (6.241), Витгенштейн т.о. намечает «перевод числовой арифметики в область общей теории операций» (Frascolla 1998, 135).

Несмотря на тот факт, что Витгенштейн, очевидно, не пытается свести математику к логике в манере Рассела или Фреге, или к тавтологиям, и несмотря на то, что Витгенштейн критикует логицизм Рассела (например, теория типов, 3.31-3.32; аксиома сводимости, 6.1232, и т.д.) и логицизм Фреге (6.031, 4.1272, и т.д.) [3], значительное количество комментаторов, как ранних, так и современных, интерпретируют теорию математики Витгенштейна в ЛФТ как вариант логицизма [(Quine 1940 [1981, 55]), (Benacerraf и Putnam 1964, 14), (Black 1966, 340), (Savitt 1979 [1986], 34), (Frascolla 1994, 37; 1997, 354, 356-57, 361; 1998, 133), (Marion 1998, 26 & 29), и (Potter 2000, 164 и 182-183)]. На это есть по крайней мере четыре причины.

1. Витгенштейн пишет, что «математика – это метод логики» (6.234).

2. Витгенштейн пишет, что «логика мира, которая показана в тавтологиях предложениями логики, показана уравнениями в математике» (6.22).

3. По Витгенштейну, мы устанавливаем истинность как математических, так и логических предложений только лишь по одним символам (т.е., с помощью чистых формальных операций), не делая никаких («внешних», не-символьных) наблюдений положений дел или фактов в мире.

4. Итеративная (индуктивная) витгенштнейновская «интерпретация чисел как порядок переменной, обозначающей операцию» - это «сведение арифметики к теории операций», где «операция» истолковывается как «логическая операция» (Frascolla 1994, 37), которая показывает, что «ярлык «не-классический логицизм» согласовывается с взглядом ЛФТ на арифметику» (Frascolla 1998, 133; 1997, 354).

Хотя по крайне мере три логистические интерпретации ЛФТ появились только в последние 8 лет, следующие факторы [(Rodych 1995), (Wrigley 1998)] показывают, что ни одна из вышеперечисленных причин не является полностью убедительной.

Например, говоря, что «математика – это метод логики», Витгенштейн, возможно, всего лишь говорит, что т.к. общая форма натурального числа и общая форма предложения являются частными случаями общей формы (чисто формальной) операции, точно так же как функционально-истинностные предложения могут быть построены с использованием общей формы предложения, (истинные) математические уравнения могут быть построены с использованием общей формы натурального числа. В качестве варианта, Витгенштейн мог иметь в виду, что математические выводы (т.е., не подстановки) находятся в соответствии с, или применяют, логическими выводами, и т.к. математическое мышление есть логическое мышление, то математика есть метод логики.

Подобным образом, говоря, что «логика мира» показана тавтологиями и истинными математическими уравнениями (т.е., п. 2), Витгенштейн мог иметь в виду, что т.к. математика была изобретена, чтобы помочь нам с подсчетом и измерениями, и в той мере как она позволяет нам выводить одни контингенциальные предложения из других контингенциальных предложений (см. 6.211 ниже), она таким образом отражает контингенциальные факты и «логику мира». Хотя логика – которая присуща естественному («каждодневному») языку (4.002, 4.003, 6.124) и которая нам помогает в наших коммуникативных, исследовательских и присущих выживанию нуждах – не была изобретена подобным образом, правильный логический вывод захватывает взаимосвязь между возможными фактами, а  трезвый логический вывод захватывает взаимосвязь между существующими фактами.

Что касается п. 3, Black, Savitt, и Frascolla привели доводы, что т.к. мы устанавливаем истинность тавтологий и математических уравнений без какого бы то ни было апеллирования к «положениям дел» или «фактам», истинные математические уравнения и тавтологии настолько похожи, что мы можем «надлежащим образом» описать «философию арифметики ЛФТ... как вариант логицизма» (Frascolla, 1994, 37). Возражением на это служит то, что похожесть, которую подметили Frascolla, Black и Savitt, не делают теорию Витгенштейна «вариантом логицизма» в смысле Рассела или Фреге, потому что Витгенштейн не определяет числа «логически» так, как это делают Рассел или Фреге, и похожесть (или аналогия) между тавтологиями и истинныи математическими уравнениями не является ни тождеством, ни соотношением сводимости.

Наконец, критики приводят доводы, что проблема из п. 4 такова, что не существует доказательства того утверждения, что рассматриваемая операция логическая в ее понимании Витгенштейном, Расселом или Фреге – она кажется чисто формальной, синтаксической операцией (Rodych 1995). «Логические операции выполняются с предложениями, арифметические операции – с числами», говорит Витгенштейн (WVC 218); «результат логической операции – это предложение, результат арифметической операции – это число». В целом, критика логистической интерпретации ЛФТ доказывает, что пп. 1-4 ни по отдельности, ни вместе взятые, не формируют убедительной почвы для логистической интерпретации ЛФТ.

Другой важный момент теории математики в ЛФТ находится в (6.211).

В жизни ведь нет таких математических предложений, в которых мы бы нуждались. Далее, мы используем математические предложения только для вывода одних предложений, не принадлежащих математике, из других предложений, также не принадлежащих математике. (В философии вопрос «для чего мы, собственно, используем это слово или это предложение» периодически приводит к ценным результатам).

Хотя математика и математическая деятельность чисто формальные и синтаксические, в ЛФТ Витгенштейн неявно отделяет чисто формальные игры со знаками, которые не имеют никаких приложений в контингенциальных предложениях, от математических предложений, которые используются для выводов одних контингенциальных предложений из других контингенциальных предложений. Однако, Витгенштейн явным образом не говорит, как математические уравнения, которые не являются подлинными предложениями, используются для вывода одних подлинных предложений из других подлинных предложений [(Floyd 2002, 309), (Kremer 2002, 293-94)]. Как мы увидим из §3.5, поздний Витгенштейн возвращается к важности внешнего математического приложения и использует его для отличения простой «знако-игры» от подлинной математичкой языковой игры.

Это, вкратце, теория математики Витгенштейна в ЛФТ. Во введении к ЛФТ Рассел писал, что «теория числа» Витгенштейна «нуждается в огромной технической доработке», в основном из-за того, что Витгенштейн не показал, как работать с трансфинитными числами (Витгенштейн, 1922, xx). Подобным образом, в своем обзоре ЛФТ, Frank Ramsey писал, что «мнение» Витгенштейна не покрывает всю математику, частично из-за того, что теория уравнений Витгенштейна не может объяснить неравенства (Ramsey 1923, 475). И хотя сомнительно, что в 1923 Витгенштейн мог представить себе все эти проблемы, но несомненно, что теория математики в ЛФТ, по существу, только лишь набросок, особенно по сравнению с тем, что начинает Витгенштейн развивать шестью годами позднее.

После написания ЛФТ в 1918, Фитгенштейн фактически не занимался философией до 2 февраля 1929, 11 месяцев спустя после посещения лекции голландского математика Л.Э.Я. Брауэра.