Финитизм Витгенштейна и алгоритмическая разрешимость

У среднего Витгенштейна были и другие причины для отказа от неограниченного использования кванторов в математике, т.к. по его своеобразному мнению, мы должны различать 4 категории соединения математических символов.

1. Доказанные математические предложения в конкретном математическом исчислении (нет нужды в «математической истине»)

2. Опровергнутые математические предложения в конкретном математическом исчислении (нет нужды в «математической ложности»)

3. Математические предложения, для которых мы знаем, что у нас есть в наличии применимая и эффективная методика определения разрешимости (т.е., мы знаем, как разрешать эти предложения)

4. Соединения символов, которые не являются частью какого-либо математического исчисления и которые, по этой причине, не являются математическими предложениями (т.е., это не-предложения)

В своей работе (van Atten 2004, 18), Mark van Atten пишет, что «интуиционистски, есть четыре [“возможности предложения в отношении истины”]:

1. Было установлено, что p – истина

2. Было установлено, что p – ложь

3. Не было установлено пока еще ни 1, ни 2, но у нас есть процедура разрешения p (т.е., процедура доказательства p или доказательства p)

4.  Не было установлено пока еще ни 1, ни 2, и у нас нет процедуры разрешения p.”

Что сразу видно в Витгенштейновских ##1-3 и Брауэрских ##1-3 [(Brouwer 1955, 114), (Brouwer 1981, 92)], так это их поразительное сходство. А еще, несмотря на всю похожесть, отличие в #4 абсолютно принципиальное.

В первых 3х пунктах, Брауэр и Витгенштейн соглашаются в том, что пока еще неразрешенное выражение φ является математическим предложением (согласно Витгенштейну, являющегося частью конкретного математического исчисления), если у нас есть применимая процедура разрешимости. Также они соглашаются в том, что пока φ не разрешено, оно не является ни истинным, ни ложным (хотя, по Витгенштейну, «истинно» значит не больше, чем «доказано в исчислении Γ»). Противоречия у них возникает о статусе обыкновенной математической гипотезы, такой как гипотеза Гольдбаха. Брауэр принимает ее в качестве математического предложения, в то время как Витгенштейн отвергает ее по той причине, что мы не знаем, как алгоритмически разрешить ее. Подобно Брауэру (1948 [1983, 90]), Витгенштейн придерживается мнения, что в математике нет «неизвестных истин», однако в отличие от Брауэра, Витгенштейн отвергает существование «неразрешенных предложений» на тех основаниях что такое «предложение» не имело бы «смысла», «и следствие этого то, что предложения логики теряют свою общезначимость» (PR §173). В частности, если есть неразрешимые математические предложения (как полагает Брауэр), то по крайне мере некоторые математические предложения не являются предложениями в любом существующем математическом исчислении. Для Витгенштейна, однако, это свойство математического предложения по определению – быть либо уже разрешенным, либо имеющим возможность быть разрешенным известной процедурой разрешимости в математическом исчислении. Как пишет Витгенштейн в (PR §151), «там, где неприменим закон исключенного третьего, никакой другой закон логики также неприменим, потому что в таком случае мы не работаем с предложениями математики. (В отличие от Вейля и Брауэра)». Дело здесь не в том, что нам нужна истина и ложность в математике – это не так – а скорее в том, что каждое математическое предложение (включая те предложения, для которых процедура разрешимости известна) известным образом есть часть математического исчисления.

Для поддержки своей позиции Витгенштейн делает различие между (значащими, подлинными) математическими предложениями, которые имеют математический смысл, и незначащими, бессмысленными (‘sinnlos’) выражениями на том условии, что выражение - это значащее (подлинное) предложение математического исчисления тогда и только тогда, когда мы знаем доказательство, опровержение или применимую процедуру разрешимости [(PR §151), (PG 452), (PG 366), (AWL 199-200)]. «Только там, где существует метод решения [«логический метод нахождения решения»], существует [математическая] проблема», говорит нам Витгенштейн (PR §§149, 152; PG 393). «Мы можем только ставить вопрос в математике (или делать гипотезу)», добавляет он (PR §151), «где ответом на него будет: «Я должен его решить»».

В (PG 468), Витгенштейн подчеркивает важность алгоритмической разрешимости ясно и настойчиво: «В математике все есть алгоритм и ничто есть значение [‘Bedeutung’]; даже если кажется, что это не так, потому что, кажется, мы используем слова, чтобы говорить о математических вещах. Даже эти слова используются для конструирования алгоритма». Следовательно, когда Витгенштейн говорит (PG 368), что если «предполагается, что [закон исключенного третьего] не выполняется, мы изменили концепцию предложения», он имеет в виду, что выражение является значащим математическим предложением только в том случае, если мы знаем применимую процедуру его разрешения (PG 400). Если подлинное математическое предложение пока неразрешено, закон исключенного третьего соблюдается в том смысле, что мы знаем, что мы докажем или опровергнем предложение путем применения подходящей процедуры разрешимости (PG 379, 387).

Для Витгенштейна, просто не существует разницы между синтаксисом и семантикой в математике: все есть синтаксис. Если мы хотим разграничить «математические предложения» от «математических псевдо предложений», а этого мы и хотим, то единственным способом удостовериться, что не существует такой вещи, как значащее, но неразрешимое (т.е., независимое) предложение в данном исчислении – это условиться, что выражение является значащим предложением в данном исчислении (PR §153) если только оно уже разрешено, или мы знаем применимую процедуру разрешимости. Подобным образом Витгенштейн определяет как математическое исчисление, так и математическое предложение в эпистемологических терминах. Исчисление определяется в терминах соглашений [(PR §202), (PG 369)], известных правил операций, а также известных процедур разрешимости, и выражение является математическим предложением в данном счислении (PR §155), только если это исчисление содержит (PG 379) известную (и применимую) процедуру разрешимости, т.к. «вы не можете иметь логического плана поиска смысла, которого вы не знаете» (PR §148).

Т.о., Витгенштейн в средний период отвергает неразрешимые математические предложения на двух основаниях. Во-первых, теоретико-числовые выражения с навешенными кванторами над бесконечной областью определения не являются алгоритмически разрешимыми, и поэтому они – не значащие математические предложения.

Если кто-то говорит (как Брауэр), что т.к. (x) f₁x = f₂x, то это, и да и нет, также случай неразрешимости, это подразумевает что ‘(x)…’ берется в экстенциональном смысле, и мы можем говорить о случае, когда все x имеют свойство. На самом деле, однако, совершенно невозможно говорить о таком случае, и ‘(x)…’ в арифметике не может рассматриваться экстенционально. (PR §174)

«Неразрешимость», говорит Витгенштейн (PR §174), «заранее предполагает… что мост не может быть построен из символов», когда, фактически, «связь между символами, которая существует, но не может быть выражена с помощью символьных преобразований, - это мысль, которую нельзя подумать», т.к. «если связь существует,… тогда должна быть возможность ее увидеть». Ссылаясь на алгоритмическую разрешимость, Витгенштейн подчеркивает (PR §174), что «мы можем утверждать все что угодно, что может быть проверено на практике», потому что «это вопрос возможности проверки».

Второй причиной для отказа Витгенштейна от неразрешимых математических предложений служит противоречие в терминах. Не может быть «неразрешимых предложений», аргументирует Витгенштейн (PR §173), т.к. выражение, которое неразрешимо в некотором конкретном исчислении, есть попросту не математическое предложение, т.к. «каждое предложение в математике должно принадлежать некоторому математическому исчислению» (PG 376).

Эта принципиальная позиция в области разрешимости отражается в различных радикальных и не интуитивно-понятных высказываниях о кванторах над неограниченной областью определения, математической индукции и, в особенности, смысле недавно доказанных математических предложений. В частности, Витгенштейн заявляет, что не вызывающие сомнений математические гипотезы, навроде гипотезы Гольдбаха (здесь и далее «ГГ»), и бывшая ранее гипотезой «последняя теорема Ферма» (здесь и далее «ПТФ»), не имеют смысла (или, может быть, не имеют определенного смысла), и что несистематическое доказательство таких гипотез придает им смысл, которого до этого они не имели (PG 374), потому что «непонятно, почему я должен согласиться, что когда у меня есть доказательство, то это доказательство точно этого предложения или индукции, подразумеваемой этим предложением» (PR §155).

Следовательно, [последняя теорема] Ферма не имеет смысла до тех пор пока я не смогу искать решение уравнения в целых числах. И «искать» всегда значит: искать систематически. Слоняться по бесконечному пространству в ожидании золотого кольца – это не значит искать.

Я говорю: так называемая «последняя теорема Ферма» - не предложение. (Даже не в смысле предложения арифметики.) Скорее, она соответствует индукции.

Чтобы узнать, почему последняя теорема Ферма не является предложением, и почему она может соответствовать индукции, обратимся к мнению Витгенштейна о математической индукции.