Интенции, экстенции и фиктивный символизм теории множеств

Поиск универсальной теории действительных чисел и математической непрерывности привел к «фиктивному символизму» (PR §174).

Теория множеств пытается осмыслить бесконечность на более общем уровне, чем изучение законов действительных чисел. Она говорит, что вы никак не можете постичь актуальную бесконечность через математический символизм в принципе, и поэтому она может быть только описана, но не представлена. ... Кто-то может сказать об этой теории, что она покупает кота в мешке. Пусть бесконечность сама приспосабливается в этой коробке наилучшим образом. (PG 468; см. также PR §170)

По заявлению Витгенштейна в (PG 461), «ошибка в теоретико-множественном подходе состоит во времени и опять в трактовке законов и перечислений (списков) как существенно похожих вещей и выстраивании их в параллельные ряды т.о., что один заполняет зазоры, оставленные другим». Это ошибка, потому что «бессмысленно» говорить, что «мы не можем пронумеровать все числа множества, но мы можем дать описание», т.к. «одно не заменяет другого» (WVC 102; 19 июня, 1930); «не существует дуализма закона и бесконечного ряда, подчиняющегося ему» (PR §180).

«Теория множеств ошибочна» и абсурдна (PR §174), говорит Витгенштейн, поскольку она заранее предполагает фиктивный символизм бесконечных знаков (PG 469) вместо фактического символизма конечных знаков. Грандиозное объявление теории множеств, которое начинается с «Концепции функции Дирихле» (WVC 102-03), состоит в том что мы можем в принципе представить бесконечное множество путем нумерации, но из-за человеческих или физических ограничений, вместо этого мы опишем его интенционально. Но, говорит Витгенштейн, «не может быть вероятности и реальности в математике», поскольку математика – это действительное исчисление, которое «занимается только со знаками, которыми оно фактически оперирует» (PG 469). Как Витгенштейн заявляет в (PR §159), тот факт, что «мы не можем описать математику, мы можем только работать с ней» и «внутри нее, отменяет любую «теорию множеств»».

Возможно, лучший пример этого феномена – это Дедекинд, который в своем «определении» «бесконечного класса» как «класса, который аналогичен соответственному подклассу себя самого» (PG 464) «пытался описать бесконечный класс» (PG 463). Однако, если мы попытаемся применить это «определение» к конкретному классу с целью установить, является ли он конечным или бесконечным, то эта попытка будет «смехотворной», если мы будем применять к конечному классу, такому как «определенный ряд деревьев», и «бессмысленной», если мы применим к «бесконечному классу», т.к. мы не можем даже пытаться «согласовать его» (PG 464), потому что «соотношение m = 2n [не] соотносит класс всех чисел с одним из его подклассов» (PR §141), это «бесконечный процесс», который «соотносит любое произвольное число с другим». Т.о., хотя мы и можем использовать m = 2n в качестве правила для построения всех натуральных чисел (т.е., нашей области определения) и тем самым сконструировать пары (2,1), (4,2), (6,3), (8,4), и т.д., но в таких построениях мы не соотносим два бесконечных множества, или экстенции (WVC 103). Если мы попытаемся применить определение Дедекинда в качестве критерия для определения бесконечности данного множества путем установления биективного соответствия между двумя индуктивными правилами построения «бесконечных экстенций», одна из которых есть «экстенциональное подмножество» другой, возможно, мы не сможем узнать ничего из того, чего мы уже не знали, когда применяли этот «критерий» к двум индуктивным правилам. Если Дедекинд или кто-либо еще настаивает на обозначении индуктивного правила «бесконечным множеством», он и мы должны просто отметить категорийное различие между подобным множеством и конечным множеством с детерминированной, конечной мощностью.

На самом деле, по мнению Витгенштейна, неспособность в правильном разграничении математических экстенций и интенций – это основная причина ошибочной интерпретации Канторовского диагонального доказательства как доказательства существования бесконечных множеств как меньших, так и больших мощностей.

Против несчетности

Критика Витгенштейна несчетности в средний период в основном является неявной. Только после 1937 г. он предоставляет конкретные аргументы с целью показать, например, что диагональ Кантора не может доказать, что некоторые бесконечные множества имеют большую «множественность» чем другие.

Тем не менее, Витгенштейн в переходный период ясно отвергает тот принцип, что несчетное бесконечное множество имеет большую мощность, чем счетное бесконечное множество.

Когда люди говорят «Множество всех трансцендентных чисел более мощно, чем множество алгебраических чисел», то это бессмысленно. Первое множество другого рода. Оно не «более не» счетно, оно попросту несчетно! (PR §174)

Как и в случае со своими переходными взглядами на подлинные иррациональные числа и аксиому мультипликативности, Витгенштейн здесь рассматривает диагональное доказательство несчетности «множества трансцендентных чисел» как показывающее только то, что трансцендентные числа не могут быть рекурсивно пронумерованы. Это бессмысленно, говорит он, от оправданного заключения о том, что эти числа, в принципе, не могут быть пронумерованы приходить к заключения о том, что множество трансцендентных чисел более мощно, чем множество алгебраических чисел, которые могут быть рекурсивно пронумерованы. Здесь мы имеем две очень разных концепции число-типа. В случае с алгебраическими числами, мы имеем процедуру разрешимости для определения, является ли любое данное число алгебраическим или нет, и у нас есть метод нумерации алгебраических чисел, такой что мы можем видеть, что «каждое» алгебраическое число «будет» пронумеровано. В случае трансцендентных чисел, с другой стороны, у нас есть доказательства, что некоторые числа являются трансцендентными (т.е., не алгебраическими), и у нас есть доказательство, что мы не можем рекурсивно пронумеровать любую и каждую вещь, которую мы бы назвали «трансцендентным числом».

В (PG 461), Витгенштейн подобным образом говорит о том, что «математические псевдо-концепции» теории множеств ведут к фундаментальной сложности, которая начинается, когда мы бессознательно заранее предполагаем, что есть смысл в идее упорядочивания рациональных чисел по величине – «что такая попытка мыслима» - и достигает зенита в подобном размышлении, что возможно пронумеровать все действительные числа, хотя мы в дальнейшем поймем, что это невозможно.

Хотя Витгенштейн в переходный период определенно кажется настроенным крайне критически к подозрительному доказательству того, что некоторые бесконечные множества (например, действительные числа) имеют большую мощность, чем другие бесконечные множества, и хотя он обсуждает «диагональную процедуру» в феврале 1929 и июне 1930 гг. (MS 106, 266; MS 108, 180), наряду с диагональной диаграммой, эти и другие размышления раннего среднего периода не были опубликованы ни в PR, на в PG. Как мы увидим в разделе 3.4, поздний Витгенштейн анализирует диагональ Кантора и утверждения о несчетности довольно подробно.