Поздний Витгенштейн о математике: некоторые предварительные положения

(краткое содержание)

Несмотря на то, что поначалу некоторые комментаторы не принимали преемственность взглядов Витгенштейна в средний и поздний период (под поздним периодом будем понимать в основном RFM и LFM) [(Frascolla 1994), (Gerrard 1991, 127, 131-32), (Floyd 2005, 105-106)], другие утверждали, что, по большей части, философия математики Витгенштейна эволюционировала из среднего периода в поздний без каких-либо значительных изменений. В данной статье будем придерживаться второй точки зрения, истолковывая философию математики в поздний период как преемственную среднему, за исключением важного введения в критерий внешнего приложения математики.

Возможно, наиболее важной постоянной составляющей философии математики Витгенштейна в средний и поздний период было то, что по его мнению математика – это человеческое изобретение, и в математике все изобретается. Подобно тому как Витгенштейн в средний период говорит «мы создаем математику», Витгенштейн в поздний период говорит, что мы «изобретаем» математику, и что «математик – не исследователь: он изобретатель». Ничто не существует в математическом смысле, пока мы не изобретем его. Критикуя метод математических исследований (открытий), Витгенштейн не только отвергает платонизм, он также отказывается от стандартного философского взгляда, согласно которому люди изобретают математические исчисления, но как только было изобретено исчисление, мы обязательно впоследствии откроем многие из бесконечного количества доказуемых и истинных теорем.

Витгенштейн подчеркивает различие между иллюзорным математическим открытием и подлинным математическим изобретением: «Я хочу отказаться от формулировки «Теперь я знаю больше об исчислении» и заменить ее на «Теперь у меня есть другое, новое исчисление»».

Витгенштейн в поздний период все так же отрицает существование актуальной бесконечности и бесконечных математических экстенций. Во-первых, он все так же придерживается мнения, что иррациональные числа – это правила для формирования конечных разложений в десятичную дробь, а не бесконечные математические экстенции. По мнению Витгенштейн в поздний период, попросту не существует ни свойства, ни правила, ни систематического способа определить каждое иррациональное число интенционально, что означает отсутствие критерия для иррациональных чисел, записанных полностью. По мнению Витгенштейна, мы дожны избегать слова «бесконечный» в математике.

Во-вторых, Витгенштейн все так же основывается на финитных взглядах в трактовке «предложений», подобных «есть три последовательных цифры 7 в десятичном разложении числа пи». Это предложение, по его мнению, не является значащим предложением вовсе, потому что мы не имеем на данный момент применимую процедуру разрешения, с помощью которой мы можем разрешить указанное предложение в некотором исчислении. Т.о., мы можем только иметь значащие предложения о конечных разложениях пи.

По одной из интерпретаций [(Goodstein 1972, 279, 282), (Anderson 1958, 487), (Klenk 1976, 13), (Frascolla 1994, 59)], Витгенштейн исключает неразрешимые математические предложения, но допускает, что существуют неразрешенные пока еще предложения, но разрешимые в принципе (в отсутствие известной применимой процедуры разрешения). Однако, есть важные свидетельства, что Витгенштейн сохраняет свою позицию в средний период о том, значащее математическое предложение определяется только в данном исчислении и только если мы заведомо знаем применимую и эффективную процедуру разрешения.

Преимущественно благодаря своим анти-фундаментализму и критике слияния интенций и экстенций, Витгенштейн в поздний период во многом придерживается своих взглядов о теории множеств в средний период. Учитывая, что математика – это «РАЗНООБРАЗИЕ техник доказательства», она не нуждается в основании. Т.к. теория множеств была изобретена для придания математике основания, она, как минимум, бесполезна.

По словам Витгенштейна, рассмотрение диагональной процедуры показывает, что понятие «действительное число» имеет мало общего с понятием «мощность множества», однако люди наоборот зачастую смешивают эти два понятия. По его мнению, не только диагональное доказательство не может доказать, что одно бесконечное множество по мощности больше другого, это вообще нельзя доказать попросту потому, что «бесконечное множество» - не экстенция, и, следовательно, не бесконечная экстенция. Но вместо того, чтобы правильно интерпретировать доказательство Кантора, мы его используем, чтобы «показать, что существуют числа больше чем бесконечность», что «дает нам приятное чувство парадокса», которое, по словам Витгенштейна, и «является возможно главной причиной изобретения теории множеств».

По мнению Витгенштейна, диагональ Кантора доказывает не-перечислимость: что для каждого определенного понятия действительного числа (например, рекурсивное действительное), никто не сможет перечислить все подобные числа, потому что всегда можно построить диагональное число, которое попадает под выбранное понятие и при этом не перечислено. Т.о. образом, мы можем построить «бесконечно много» разнообразных систем иррациональных чисел, но мы не можем построить исчерпывающую систему всех иррациональных чисел. При этом теоретики теории множеств делают вывод, что «множество иррациональных чисел» имеет большую множественность, чем любое перечисление иррациональных чисел (или множество рациональных), хотя единственный вывод отсюда такой, что не существует такой вещи как множество всех иррациональных чисел.

Принципиальное и наиболее значительное отличие от публикаций Витгенштейна в средний и поздний период – введение критерия внешнего по отношению к математике приложения, который используется для различения простых «игр со знаками» от математических языковых игр.

Как мы уже видели, этот критерий присутствовал в ЛФТ (6.211), но по существу отсутствовал в средний период. Причиной для этого отсутствия, возможно, кроется в том, что Витгенштейн в средний период хотел подчеркнуть, что в математике все есть синтаксис и ничего есть значение.

Скорее всего, существуют две причины, по которым Витгенштейн в поздний период заново вводит внешне-математическое приложение как необходимое условие математической языковой игры. Во-первых, основываясь на своем интересе в использовании естественных и формальных языков в различных «формах жизни», он подчеркивал, что математика играет разнообразные прикладные роли во многих формах человеческой деятельности (наука, техника, предсказания). Во-вторых, внешне-математическое приложение смягчает напряжение между критикой Витгенштейна в средний период теории множеств и его сильным формализмом, согласно которому «одно исчислении ничем не лучше другого». Т.о., отделяя математические языковые игры от нематематических игр со знаками, Витгенштейн мог заявить, что «на тот момент» теория множеств – это просто игра со знаками.

Поскольку теория множеств не имеет внешне-математических приложений, в ней мы фокусируемся на ее собственные вычисления и доказательства, она неинтересна (например, не-перечислимость действительных чисел неинтересно и бесполезно), а весь интерес лежит в «очаровании» неправильной интерпретации доказательств теории множеств.

И все же, вопрос о том, является ли соединение знаков предложением данного математического исчисления (т.е., исчисления с внешне-математическим приложением), является вопросом внутренним, синтаксическим, ответить на который мы можем с помощью знания доказательств и процедур разрешения исчисления.

Витгенштейн ошибочно думал – возможно из-за того, что прочитал только Введение Геделя – что (a) Гедель доказывает что существуют истинные, но недоказуемые предложения в PM (Principia Mathematica) (когда, на самом деле, Гедель синтаксически доказывает, что если PM w-совместимо, то предложение Геделя неразрешимо в PM), и (b) что доказательство Геделя использует ссылающееся на себя предложение для семантического показа того, что существуют истинные, но недоказуемые предложения в PM. По этой причине, у Витгенштейна две главных цели в (RFM App. III): (1) отвергнуть или найти неточности, по его собственным словам, в сомнительном доказательстве Геделя существования истинных, но недоказуемых предложений в PM, и (2) показать, по его собственным словам, что там, где «истинно в исчислении Г» отождествляется с «доказано в исчислении Г», сама идея об истинном, но недоказуемом предложении исчисления Г бессмысленна.

Для этого Витгенштейн конструирует предложение Р в терминах символизма Рассела, т.ч. посредством некоторых определений и преобразований оно может быть интерпретировано следующим образом: «Р не доказуемо в системе Рассела». Т.о., это предложение семантически ссылается на себя, и говорит о себе, что оно не доказуемо в PM. Нетрудно заметить, что такое предложение является истинным, но не доказуемым (рассуждение от противного). (1) следует из того, что нет противоречий, если мы не будем интерпретировать Р как «Р не доказуемо в системе Рассела» - в самом деле, не учитывая эту интерпретацию, доказательство Р не дает нам доказательства не-Р, а доказательство не-Р не дает доказательства Р. Другими словами, ошибка в доказательстве состоит в ошибочном предположении, что математическое предложение Р «может быть интерпретировано как «Р не доказуемо в системе Рассела»». Рассмотрим (2). Согласно концепции Витгенштейна «математической истины», истинное предложение в PM – это либо аксиома, либо доказанное предложение, что означает, что «истинное в PM» тождественно с «доказано в PM».

Исходя из этой (естественной) интерпретации (RFM App. III), заключение ранних комментаторов о том, что Витгенштейн неправильно понял технику аргументации Геделя, кажется правдоподобной. Во-первых, Витгенштейн ошибочно думал, что доказательство Геделя по существу семантическое и что оно использует и требует ссылающегося на себя предложения. Во-вторых, Витгенштейн говорит, что «противоречие неприменимо» для «предсказания» того, что «таковая и таковая конструкция невозможна» (т.е., что Р недоказуемо в PM), что, по крайней мере на первый взгляд, показывает, что Витгенштейн не смог оценить «предположение непротиворечивости» доказательства Геделя.