Примеры метрических пространств

Курсовая работа

На тему: «Элементы общей топологии»

 

 

Введение

Топология – одна из самых молодых ветвей геометрии. Топология является одним из самых абстрактных разделов современной математики. Примерно за сто лет её существования в ней достигнуты результаты, важные для многих разделов математики.

Топология (от греческого «τοποξ» – место, окрестность, «λογοξ» – закон) – раздел математики, изучающий идеи непрерывности. В топологии впервые даются строгие определения таких фундаментальных понятий геометрии, как линия и поверхность. Предметом топологии являются свойства фигур, сохраняющиеся при гомеоморфизмах, то есть взаимно однозначных и непрерывных в обе стороны отображениях. Топология, как наука возникла из потребностей связанных с математическим анализом. Эта наука, хотя и считается молодой, на самом деле известна уже давно, именно благодаря тесным связям с математическим анализом. Идеи топологии идут от работ таких крупных математиков 19 в. как Риммман, Пуанкаре, Кантор, Эйлер. Развитие топологии идёт бурными темпами и в большом числе направлений, этот процесс не окончен в настоящее время, хотя ряд крупных проблем, стоящих перед топологией, успешно решен. Топологические методы стали мощным инструментом математического исследования. Топологический подход позволяет упростить многие доказательства фундаментальных теорем классической математики и обобщить эти теоремы на более широкие классы пространств.

Геометрия школьного курса имеет дело в основном со свойствами фигур, связанными с понятиями длины, площади, объема-то есть метрическими свойствами фигур. Лишь очень немногие теоремы и задачи школьного курса геометрии рассматривают свойства иного характера. Топология как раз и является разделом геометрии, изучающим свойства фигур, которые могут быть установлены без измерения и сравнения величин, но при этом имеющие геометрический смысл.

Целью первой главы курсовой работы было рассмотреть основные элементы общей топологии.

Задачи:

· дать определение топологического пространства;

· рассмотреть свойства топологических пространств;

· охарактеризовать топологические преобразования.

Во второй главе работы мы попытались рассмотреть топологические свойства поверхностей. Были поставлены следующие задачи:

· дать определение двумерного многообразия;

· рассмотреть эйлерову характеристику поверхности;

· охарактеризовать ориентируемые и неориентируемые поверхности.

 

 

Элементы общей топологии

Понятие топологического пространства

Понятие метрического пространства

Определение 1. Декартово произведение множеств А и В определяется как множество всех упорядоченных пар (х, у), где хÎА, уÎВ, то есть

 

А´В = {(х, у)| хÎА, уÎВ}.

 

В частности, возможно А = В.

Определение 2. Говорят, что в множестве Х задана метрика r, если определено отображение

r: Х ´ Х ® R,

удовлетворяющее следующим аксиомам:

1. " х, у Î Х { r (х, у) ³ 0}, причем r (х, у) = 0 Û х = у.

2. " х, у Î Х { r (х, у) = r (у, х)}.

3. " х, у, z Î Х {r (х, у) + r (у, z) ³ r (х, z)}.

Условия 1, 2, 3 называются аксиомами метрики, при этом условие 2 называется аксиомой симметрии, а 3 – аксиомой треугольника.

Определение 3. Множество Х с заданной на нем метрикой r называется метрическим пространством и обозначается (Х, r).

В тех случаях, когда ясно, о какой метрике идет речь, метрическое пространство (Х,r) обозначают просто Х.

Число r(х, у) называют расстоянием между точками х и у в пространстве Х.

 

Примеры метрических пространств

Пример 1. Определим для элементов произвольного непустого множества Х расстояние следующим образом:

 

r(х, у) = .

 

Очевидно, аксиомы 1 – 3 выполняются, а, следовательно, (Х, r) – метрическое пространство.

Пример 2. Множество действительных чисел R с расстоянием

r(х, у) = (у – х)² не является метрическим пространством.

Действительно не выполняется третья аксиома. Например, для трех точек 2, 3 и 4 получим:

r(2, 3) = (3 – 2)² = 1, r(3, 4) = (4 – 3)² = 1,

r(2, 4) = (4 – 2)² = 4 и r(2, 3) + r(3, 4) < r(2, 4).

Определение 1. Пусть (Х, r) – метрическое пространство, х₀ Î Х,

r > 0 – действительное число. Назовём открытым шаром с центром в точке х₀ и радиусом r множество

 

U (x₀, r) = {x | x Î X, r (x, x₀) < r }.

Определение 2. Подмножество G Ì Х будем называть открытым в

(Х, r), если любая его точка является центром некоторого открытого шара, содержащегося в G.

Пустое множество Æ также считаем открытым множеством.

Определение 3. Окрестностью точки Аметрического пространства будем называть любое открытое множество, содержащее эту точку.

Обозначим совокупность всех открытых множеств в (Х, r) просто Ф_r.

Тогда имеет место следующая теорема.

Теорема. 1) Объединение любой совокупности {G_a} множеств из Ф_r принадлежит Ф_r.

 

G  Î Ф_r.

 

2) Пересечение любых двух множеств G₁ и G₂ из Ф_r принадлежит Ф_r.

 

G₁ ÇG₂ Î Ф_r.

 

3) Метрическое пространство Х – открытое множество, то есть

 

Х Î Ф_r, Æ Î Ф_r.

 

Доказательство. 1) Пусть . Обозначим

 

G = .

 

Возьмём произвольную точку х₀ Î G. Тогда существует такое a₀, что х₀ Î , и так как Î Ф_r, то найдётся число r₀, что

 

U (х₀, r₀) Ì .

 

Так как G ₀ Ì G, то U (х₀, r₀) Ì G.

Итак, G – открытое множество.

2) Пусть G = G₁ Ç G₂, где G₁, G₂ Î Ф_r и G  Æ.

Если х₀ Î G, то х₀ Î G₁ и х₀ Î G₂.

Тогда существуют такие радиусы r₁ и r₂, что

U(х₀, r₁) Ì G_1, U(х₀, r₂) Ì G₂.

 

Обозначим r = min {r₁, r₂}, тогда

 

U (х₀, r) Ì G₁ Ç G₂ = G.

 

Итак, G – открытое множество.

3. Так как всегда можно представить

 

Х = ,

 

где U_a – открытый шар радиуса r, с центром в точке , объединение рассматривается по всем точкам пространства, то в силу 1 получим, что пространство Х – открыто. Пустое множество мы предполагаем всегда открытым.

В дальнейшем описанное нами семейство Ф_r всех открытых множеств в метрическом пространстве (Х, r) будем называть топологией, индуцированной метрикой r в Х._.