Компактность топологических пространств

Определение 1. Пусть (Х, Ф) – топологическое пространство и множество Н Ì Х. Семейство U = {А_a} открытых множеств А_a называется открытым покрытием множества Н, если

Н Ì .

Подпокрытие покрытия U – это такое подсемейство семейства U, которое само является покрытием для Н.

Определение 2. Топологическое пространство Х называется компактным или компактом, если из любого его открытого покрытия можно выбрать конечное подпокрытие.

Определение 3. Множество М в топологическом пространстве Х называется компактным, если оно является компактным топологическим пространством относительно индуцированной топологии (как подпространство).

Пользоваться этим определением компактности множества не очень удобно, так как оно требует построения в множестве с индуцированной топологией. Следующая теорема дает нам возможность обходиться без этих дополнительных построений.

Теорема 1. Для того, чтобы множество М в топологическом пространстве Х было компактно, необходимо и достаточно, чтобы из любого открытого покрытия множества М в Х можно было выделить конечное подпокрытие.

Теорема 2. Если топологическое пространство (Х, Ф) компактно, а множество F Ì X – замкнуто, то F – компактно.

Доказательство. Пусть U – произвольное открытое покрытие F. Добавим к U открытое множество (Х \ F).

Тогда система {U, (X \ F)} – открытое покрытие Х.

Так как Х – компактно, то из полученного выше покрытия выбираем конечное покрытие Х.

Обозначим его U₁. Если U₁ содержит X \ F, то удалив из U₁ множество X \ F, получим покрытие, причём конечное, для F. Если U₁ не содержит X \ F, то U₁ и является конечным покрытием F.

В силу теоремы 1 множество F – компактно.

Теорема доказана.

Теорема 3. В хаусдорфовом пространстве (Х, Ф) у любых двух компактных непересекающихся множеств имеются непересекающиеся окрестности.

В общем случае мы рассматриваем для каждой точки х Î В непересекающиеся окрестности множества А – U _x и точки х – V _x и выделяем из полученного покрытия множества В окрестностями V _x конечное покрытие

.

Множества

 и

будут непересекающимися окрестностями множеств А и В.

Теорема 4. Компактное подмножество М хаусдорфова пространства (Х, Ф) замкнуто.

Теорема 5. Подмножество в пространстве R³ компактно в том и только том случае, если оно ограничено и замкнуто.

Пример. Доказать, что в евклидовом пространстве с естественной топологией (Е³, Ф_r) множество Н состоящее из конечного числа точек компактно.

Доказательство. Пусть Н = {х₁, х₂, …, х_n} и {G_a}_aÎА – произвольное открытое покрытие множества Н. По определению покрытия каждая точка х_i принадлежит хотя бы одному из множеств G_a. Обозначим G₁ одно из множеств множества {G_a}_aÎА содержащее х₁. Затем обозначим G₂ одно из множеств множества {G_a}_aÎА содержащее х₂ и так далее, для точки х_n обозначим G_n одно из множеств множества {G_a}_aÎА содержащее х_n.

Получили конечный набор открытых множеств G₁, G₂, …, G_n являющийся покрытием множества Н. Согласно теореме 1 множество Н будет компактным множеством.