Классификация замкнутых поверхностей

Мы подходим к формулировке замечательной теоремы о топологической классификации поверхностей, полученной немецким математиком Мебиусом и французским математиком Жорданом.

Условимся рассматривать только замкнутые поверхности (которые не имеют края и допускают разбиение на конечное число многоугольников). Плоскость, например, не является замкнутой поверхностью: конечный граф, начерченный на плоскости, не разбивает ее на области, которые все гомеоморфны кругу.

Задача топологической классификации поверхностей заключается в том, чтобы указать такие попарно не гомеоморфные замкнутые поверхности, что любая замкнутая поверхность гомеоморфна одной из них. Иначе говоря, нужно перечислить все топологически различные замкнутые поверхности.

Теорема 1. Обозначим через P₀ сферу, а через P_k сферу с k ручками. Тогда поверхности

P₀, P₁, P₂, …, P_k,…            (1)

дают полную топологическую классификацию замкнутых ориентируемых поверхностей, т.е. здесь перечислены все различные типы таких поверхностей.

Замкнутую неориентируемую поверхность можно расположить в пространстве лишь с самопересечениями. Так как край ленты Мебиуса гомеоморфен окружности, то можно попытаться приклеить ленту Мебиуса своим краем к краю дыры, вырезанной в некоторой поверхности, например в сфере. Если на одной окружности кольца склеить между собой каждые две диаметрально противоположные точки, то мы получим ленту Мебиуса.

Пусть теперь ℓ- контур круглой дыры на некоторой поверхности Q. Вырежем из поверхности узкую полоску (кольцо) вокруг дыры ℓ и обозначим через ℓ′ наружный контур этого кольца.

Тогда получится поверхность, гомеоморфная Q (только с несколько большей дырой ℓ′), и отдельно кольцо. Склеим теперь на контуре ℓ отрезанного кольца каждые диаметрально противоположные точки; тогда кольцо превратится в ленту Мебиуса. Эту ленту Мебиуса мы и вклеим в дыру ℓ′. В результате мы вклеим в поверхность Q (точнее, в поверхность, гомеоморфную ей) ленту Мебиуса. Но разрезание поверхности по контуру ℓ′ и обратное склеивание этого разреза можно было и не делать: достаточно было просто склеить на контуре ℓ каждые две диаметрально противоположные точки. Итак, склеивание каждых двух диаметрально противоположных точек на контуре круглой дыры равносильно вклеиванию в эту дыру ленту Мебиуса.

Теперь мы можем сформулировать вторую половину теоремы Мебиуса-Жордана о классификации поверхностей, а именно, дать перечисление всех топологически различных типов замкнутых неориентируемых поверхностей.

Теорема 2. Обозначим через N_q поверхность, получающуюся из сферы вырезанием в ней q дыр и заклеиванием их всех лентами Мебиуса. Тогда поверхности

N₁, N₂, …, N_q, … (2)

дают полную топологическую классификацию замкнутых неориентируемых поверхностей.

Заключение

Ответить на вопрос о том, что такое топология, весьма непросто. Известный французский математик Андре Вейль сказал, что за душу каждого математика борются ангел топологии и дьявол абстрактной алгебры, выразив этим, во-первых, необычное изящество и красоту топологии и, во-вторых, то, что вся современная математика представляет собой причудливое переплетение идей топологии и алгебры. А за последнее время топология все более проникает в физику, химию, биологию. Однако проникновение в волшебный мир топологи затруднительно. Подобно тому, как строительные леса, окружающие недостроенное здание, мешают охватить взглядом красоту архитектурного замысла, так многочисленные и утомительные детали построения, заполняющие книги по топологии, затрудняют охватить мысленным взором красивое здание этой математической науки. Даже многие специалисты – математики нередко отступают перед трудностями на пути овладения топологией. Для того чтобы в полной мере оценить задачи, которые решаются этой научной дисциплиной, необходимо серьезное изучение многих весьма сложных вопросов математики.

В ходе данной работы были рассмотрены основные элементы общей топологии.

Список использованной литературы

1. Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия. – М.: Наука, 1990. –672 с.

2. Аминов Ю.А. Дифференциальная геометрия и топология кривых. – М.: Наука, 1987. –160 с.

3. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. Ч. 2. – М.: Просвещение, 1987. – 351 с.

4. Болтянский В.Г., Ефремович В.А. Наглядная топология. – М.: Наука, 1982. – 148 с.

5. Бортаковский А.С., Пантелеев А.В. Аналитическая геометрия в примерах и задачах: Учеб. пособие. – М.: Высшая школа, 2005.

6. Вернер А.Л., Кантор Б.Е. Элементы топологии и дифференциаль-

ной геометрии. – М.: Просвещение, 1985. – 113 с.

7. Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия. – М.: Наука, 1981. – 352 с.

8. Долженков В.А., Соловьева Е.Г., Горчинский И.В. Элементы общей топологии: Учеб.-метод. пособие − Курск: Курск. гос. ун-т, 2006. – 63 с.

9. Ефимов Н.В., Розендорн Э.Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. – М., 2004. – 464 с.

10. Новиков С.П., Фоменко А.Т. Элементы дифференциальной геометрии и топологии: Учебник для университетов. – М.: Наука, 1987. – 432 с.

11. Рохлин В.А., Фукс Д.Б. Начальный курс топологии. М.: Наука, 1977. – 488 с.

12. Погорелов А.В. Геометрия. – М.: Наука, 1983. – 288 с.

13. Шварц Дж. Дифференциальная геометрия и топология. Новокузнецк: НФМИ, 2000.

14. Шашкин Ю.А. Эйлерова характеристика. М.: Наука, 1984. – 96 с.

15. Фоменко А.Т. Дифференциальная геометрия и топология. Дополнительные главы. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983. – 216 с.

16. Энгелькинг Р. Общая топология. – М.: Мир, 1986.