Мажоритарное декодирование избыточных (n, к) – кодов с повторением

Данный метод относится к комбинированным методам защиты информации от ошибок, в которых сочетаются исправление части ошибок посредством мажоритарной обработки (2m – 1) повторений с последующей проверкой полученного результата на наличие или отсутствие ошибок по контрольным проверкам избыточного (n, k) – кода.

Вероятностные характеристики метода. Если используется трехкратное повторение комбинаций избыточного (n, k) – кода, для которого  – кратность гарантийно обнаруживаемых ошибок, то после мажоритарной обработки будем иметь

.

Вероятность необнаружения ошибок в этом случае

 (32)

или

 (33)

где (32) – приближенное выражение.

Потери информации при этом оцениваются по формуле

. (34)

В тех случаях, когда мажоритарной обработке подвергается (2m – 1) повторений,  может быть получено из следующего приближенного выражения:

. (35)

Рис. 5

Характеристики метода для канала с группирующимися ошибками. Из рис. 5 следует, что к необнаруживаемым ошибкам относятся ошибки, содержащие t (t = 0,1…, ) искажений типа единицы, j (j= 0,1,2,…, -t) искажений типа двойки при t + j<  и i искажений типа тройки (i = +1-j, +2-j,…, n-t-j). Отметим, что ; в этом случае число необнаруживаемых ошибок определенной кратности

а общее число ошибок данной кратности –

Предполагая все ошибки равновероятными и зная суммарную вероятность этих ошибок P[(t + 2j + 3i), Зn], можно определить вероятность необнаруженных ошибок рассматриваемой кратности

Суммируя  по всем значениям t, j и i, получим выражение для определения полной вероятности необнаружения ошибок:

 (36)

где

 – коэффициент, учитывающий обнаружение ошибок более высокой кратности, чем .

В определенных случаях можно уменьшить вероятность необнаруженных ошибок соответствующим выбором верхнего предела для переменных t и j, если независимо от результата контрольных проверок избыточного кода браковать информацию в случаях, когда число несовпадений (искажения типа единицы и двойки) в одноименных элементах превысит некоторый порог . Не все составляющие выражения (36) имеют одинаковый вес. Некоторые из них убывают очень быстро. Это позволяет использовать приближенную формулу:

 (37)

Считая, что потери информации обусловливаются неисправляемыми ошибками, последние можно оценить при помощи выражения (см. п. 5.1). В том случае, когда число несовпадений ограничивается параметром  необходимо в выражении (см. п. 5.1) в качестве верхнего предела использовать . Потери информации при этом несколько возрастают.