Помехоустойчивость циклических кодов

Циклические коды можно использовать в следующих режимах: для исправления ошибок; для обнаружения ошибок; для исправления и обнаружения ошибок.

Достоверность передаваемой информации. Наиболее предпочтительным является использование циклических кодов в режиме обнаружения ошибок, так как при этом достигается наибольшая достоверность передаваемой информации, определяемая вероятностью необнаруженных ошибок:

 (11)

где  – вероятность ошибок кратности, большей чем ;  – кратность гарантийно обнаруживаемых циклическим кодом ошибок; - коэффициент, учитывающий долю необнаруживаемых ошибок более высокой кратности, чем .

C учетом выражения (11) получим

 (12)

При пР₀  1, ограничиваясь первым членом суммы, получим приближенное выражение, пригодное для инженерных расчетов:

 (13)

При передаче информации в канале связи с группирующимися ошибками, определяя , и подставляя в (11), получим приближенное выражение

 (14)

Для точных расчетов вероятность  должна определяться из выражения (3).

Использование циклических кодов для исправления ошибок приводит к снижению достоверности передаваемой информации, которая может быть определена по формулам (12), (13) и (14), если исключить коэффициент  и вместо параметра  подставить параметр t, который определяет кратность гарантийно исправляемых циклическим кодом ошибок и связан с соотношением

. (15)

Режим одновременного исправления и обнаружения ошибок по достигаемой достоверности занимает промежуточное положение между рассмотренными режимами. Вероятность необнаружения ошибок в этом случае может быть вычислена по формулам (11) – (13), если параметр  уменьшить на величину t.

В режиме исправления ошибок достоверность снижается по сравнению с режимом обнаружения ошибок. Это позволяет сделать вывод, что наиболее рациональными следует считать такие системы передачи дискретной информации, в которых циклические коды используются для обнаружения ошибок.

В некоторых случаях, когда используются каналы связи достаточно низкого качества, находит применение режим одновременного исправления и обнаружения ошибок. Это позволяет уменьшить потери информации и увеличить относительную скорость передачи.

Потери информации. Потери информации имеют место в том случае, когда возникает ошибка, необнаруживаемая циклическим кодом, поэтому для режима обнаружения ошибок можно записать, что

 (16)

где Р_ош – вероятность появления любой ошибки в кодовой комбинации. Так как в реальных системах Р_н.о.<Р_ош, то можно положить, что

 (17)

В режиме одновременного исправления и обнаружения ошибок исправляются ошибки до t – кратных включительно. Поэтому потери будут обусловлены абсолютным большинством ошибок, кратность которых превышает t, т.е.

, (18)

где – вероятность появления i-кратных ошибок.