Связь между абсолютной и относительной производными вектора по скалярному аргументу

В разд.1.1 (часть II) были введены понятия абсолютной и относительной производных вектора по скалярному аргументу. Найдем соотношение между этими производными. Сохраняя обозначения разд.1.1, дифференцируя по  (1.6) и учитывая (1.10), получаем

                 .         (2.6)

Отсюда следует, что в частном случае, когда подвижная система координат OXYZ (рис.1.3) движется поступательно (т.е. , , ), имеем = .

В общем случае (при непоступательном движении системы координат OXYZ ) ≠ 0, ≠ 0, ≠ 0. Выясним, чему равны эти производные. Для этого введем в дополнение к системе координат рис.1.3 промежуточную подвижную систему координат Ozhx (рис.2.7), движущуюся поступательно.

По доказанному выше, = , причем = , где точка B, конец вектора ,

принадлежит системе OXYZ (рис.2.7). Заметим, что система OXYZ в своем движении по отношению к системе Ozhx имеет неподвижную точку O. Следовательно, по теореме о мгновенной оси вращения это движение – мгновенно вращательное и

.

Здесь  – мгновенная угло-вая скорость подвижной системы координат OXYZ. Итак, . Аналогично  и .

Подставляя это в (2.6), получаем

        . (2.7)

Соотношение (2.7) устанавливает теорему о связи между абсолютной и относительной производными вектора .

Теорема. Абсолютная производная вектора  по скаляр-ному аргументу равна сумме относительной производной этого вектора, вычисленной по отношению к подвижной системе координат, и векторного произведения вектора  мгновенной угловой скорости этой подвижной системы на дифференцируемый вектор .

Теорема Кориолиса

Рассмотрим опять (как в гл.1 части II) сложное движение точки. Докажем теперь теорему о сложении ускорений в сложном движении точки. Будем использовать обозначения и терминологию, принятую выше.

Теорема. Абсолютное ускорение точки, совершающей сложное движение, равно геометрической сумме относительного, переносного и кориолисова ускорений: , где кориолисовым ускорением  называют вектор, определяемый соотношением: ,  - угловая скорость подвижной системы координат (угловая скорость переносного движения, ).

Доказательство. Пусть O₁X₁Y₁Z₁ – основная (неподвижная) система координат; OXYZ - подвижная система координат (рис.2.8); M - точка, совершающая сложное движение; m - точка системы координат OXYZ, с которой в момент t совпадает точка M. Введем дополнительно поступательно движущуюся систему коорди-нат Ozhx и обозначим  – вектор мгновенной угловой скорости подвижной системы координат OXYZ.

Найдем абсолютное ускорение точки M. По определению , где ,  (по определению переносной скорости). Определим  – абсолютную скорость точки m. Для этого будем рассматривать движение точки m по отношению к системе O₁X₁Y₁Z₁ как сложное, состоящее из двух составляющих движений, где 1) относительное движение точки m по отношению к системе Ozhx, 2) перенос-ное движение системы Ozhx по отношению к системе O₁X₁Y₁Z₁. Тогда по теореме о сложении скоростей получаем для точки : .

Следовательно, для точки M: . Дифференцируя по t, имеем:

.

Здесь ; ;  - вектор углового ускорения подвижной системы координат OXYZ; согласно (2.7): , , причем ;  - по определению (разд.1.2, часть II). С учетом этого получаем:

              .      (2.8)

Заметим, что в этом соотношении сумма первых трех слагаемых определяет переносное ускорение точки M. Действительно, положим в (2.8)  и , т.е. жестко скрепим точку M с подвижной системой OXYZ. Тогда из (2.8) получим выражение для ускорения точки m, принадлежащей системе OXYZ, что и дает переносное ускорение точки M:

.

Итак, получим . Вектор  называют ускорением Кориолиса. Теорема доказана.

Глава3. Сложное движение твердого тела

Постановка задачи

Будем рассматривать движение твердого тела T (рис.3.1) по отношению к двум различным системам координат O₁X₁Y₁Z₁ и OXYZ, которые движутся одна относительно другой.

Поставим задачу: определить движение тела T по отношению к системе координат O₁X₁Y₁Z₁, если дано: 1) движение тела T по отношению к системе коор-динат OXYZ; 2) движение системы OXYZ по отношению к системе O₁X₁Y₁Z₁.

При такой постановке задачи движение тела T по отношению к системе O₁X₁Y₁Z₁ называют сложным (или составным), так как оно определяется через два промежуточных движения 1) и 2), которые при этом называют составляющими движениями. Определение (нахождение) движения тела T относительно системы координат O₁X₁Y₁Z₁ по составляющим движениям называют (как и в кинематике точки) сложением движений.

Очевидно, можно говорить и о разложении заданного движения тела на составляющие движения, понимая под этим, что движение тела по отношению к данной системе отсчета O₁X₁Y₁Z₁ можно рассматривать (вводя дополнительную систему OXYZ) как сложное, состоящее из двух составляющих движений: из движения тела по отношению к дополнительной системе отсчета OXYZ и из движения этой системы OXYZ по отношению к данной системе O₁X₁Y₁Z₁. Совершенно ясно, что задача разложения заданного движения тела на составляющие движения будет иметь разные решения для различных дополнительных систем отсчета.

В теории сложного движения тела принята терминология, аналогичная той, которая используется в теории сложного движения точки (см. гл.1). В соответствии с этим O₁X₁Y₁Z₁ – основная (неподвижная) система координат; OXYZ – подвижная система координат. Движение тела T по отношению к основной системе координат называют абсолютным, движение тела T по отношению к подвижной системе координат – относительным, движение системы координат по отношению к неподвижной системе координат – переносным. Кинематические элементы абсолютного движения тела T называются абсолютными и обозначаются индексом ; кинематические элементы движения тела T в подвижной системе координат называются относительными и обозначаются индексом r; кинематические элементы движения подвижной системы координат OXYZ называются переносными и обозначаются e [3, 8].

Используя терминологию теории сложного движения, сформулируем в общей постановке задачу сложения движений для твердого тела: по заданным относительному и переносному движениям, по движениям 1) и 2), найти абсолютное движение тела.

Замечание. Здесь используются понятия «движение тела» и «мгновенное движение тела». Подчеркнем, что последний термин (вообще говоря, неудачный, но традиционно исполь-зуемый [3]) является условным и характеризует лишь поле скоростей (распределение скоростей) в теле в данный момент.

Например, говорят:

движение тела в данной системе отсчета – мгновенно вра-щательное, если в данной момент в теле существует точка P, скорость которой равна нулю, а для любой другой точки A тела справедливо –  (где  – вектор мгновенной, т.е. отвечающей этому моменту, угловой скорости, проходящей через точку P);

движение тела в данной системе отсчета – мгновенно поступательное, если в данный момент скорости всех точек тела по отношению к данной системе равны между собой – .