Теорема о сложении скоростей в сложном движении точки

Теорема. Абсолютная скорость точки, совершающей сложное движение, равна геометрической сумме относи-тельной и переносной скоростей этой точки: .

Доказательство. Пусть O₁X₁Y₁Z₁ – основная (неподвижная) система координат; OXYZ – подвижная система координат (рис.1.7); M - точка, совершающая сложное движение. Пусть в момент времени t подвижная система координат занимает положение (I), движущаяся точка занимает положение M; в момент времени t₁= t+Dt подвижная система занимает положение (II), движущаяся точка – положение M₁.

Обозначим ab относительную траекторию точки M (ab – линия, жестко связанная с подвижной системой координат); обозначим m ту точку подвижной системы координат, с которой в момент времени t совпадает движущаяся точка M.

В момент времени t₁ точка m займет по отношению к неподвижной системе координат новое положение m₁, соответствующее положению (II) подвижной системы координат, а движущаяся точка M будет совпадать уже с другой точкой, принадлежащей подвижной системе коор-динат. Обозначим эту точку , а ее положение в момент t₁ обозначим p₁ (рис.1.7). Из рисунка видно, что

                                .                      (1.13)

Обозначим, как в разд.1.2 этой главы,  – радиус-вектор точки M, определяющий ее положение в неподвижной системе координат (рис.1.7); – радиус-вектор точки M, определяющий ее положение в подвижной системе координат.

Тогда  – вектор абсолютного перемещения точки M за промежуток времени Dt;  – вектор относительного перемещения точки M за Dt (отметим, что D =[x(t₁)–x(t)] +[y(t₁)–y(t)] +[z(t₁)–z(t)] ); – вектор абсолютного перемещения точки m за Dt.

Учитывая это, разделим обе части равенства (1.13) на Dt и перейдем к пределу при Dt®0:

                      .            (1.14)

По определению , , .

Таким образом, получаем

                                 = + .                             (1.15)

Теорема доказана.

Каждый из векторов в соотношении (1.15) направлен по касательной к соответствующей траектории (рис.1.8) в момент времени t.

В кинематике сложного движения приходится решать задачи двух типов:

– задача сложения движений: по заданным относительному и переносному движениям найти параметры абсолютного движения;

– задача разложения движения: по заданному абсолютному движению найти параметры составляющих движений. Не входя в более подробное обсуждение этой задачи, заметим, что для ее однозначного решения необходимо задание и некоторых кинематических элементов составляющих движений.

Пример 1.2. Треугольная проволочная рамка abc (рис.1.9) вращается относительно неподвижной опоры вокруг оси O₁Z₁ равнопеременно с угловым ускорением e=2с^-2. По стороне ac, являющейся гипотенузой Dabc, скользит колечко M по закону aM=20-5cos(5pt/8)см. Определить абсолютную скорость колечка M через 4 се- кунды после начала движения, если начальная угловая скорость рамки равна w₀=-12c^-1; t₀=0c.

Решение. Из условий задачи следует, что основную (неподвижную) систему координат O₁X₁Y₁Z₁ надо связать с опорой, а подвижную систему координат OXYZ – с рамкой abc (рис.1.10). На этом рисунке показана только одна ось подвижной системы координат OX, направленная по прямой  рамки (рамка показана в произвольный момент t). Абсолютное движение колечка M (движение относительно системы координат O₁X₁Y₁Z₁) складывается из движения точки M относительно рамки abc и движения рамки abc относительно системы координат O₁X₁Y₁Z₁, т.е. из двух составляющих движений. Первое составляющее дви-жение – относительное. Его уравне-ния: x=OM=20-5cos(5pt/8), y =0, z =0. Относительная траектория – прямая ac. Второе составляющее движение – переносное. Его уравнением является уравнение враща-тельного равнопеременного движения рамки:

j = j₀+w₀t +et²/2= – 12t + t²(рад)   (j₀=0, w₀=-12c^-1).

По теореме о сложении скоростей = + . Вычислим относительную и переносную скорости:

; ; w=w₀+et = –12+2t;

h=O₁M₁=OM sin30°= [20-5cos(5pt/8)]/2.

Через 4 секунды после начала движения :

V_r=(25p/8)sin(5p/2)=(25p/8)см/c; w=–12+2×4= –4c^–1;

h=(20–5cos(5pt/2)/2=10см; 4·10=40см/с.

В этот момент времени вектор относительной скорости направлен по оси OX от точки O, вектор переносной скорости направлен перпендикулярно к плоскости Dabc по направлению вращения рамки. Векторы  и  взаимно перпендикулярны; вектор , определяемый по величине и направлению диагональю параллелограмма скоростей (рис.1.10), по модулю равен

≈41,2см/с.

Пример 1.3. Диск вращается равномерно по отношению к опоре вокруг оси O₁Z₁ (рис.1.11), перпендикулярной плоскости

чертежа, с угловой скоростью w. Точка M движется по непо-движной прямолинейной направляющей OX₁ по закону O₁M = a cos(w t)(a >0). Опреде-лить скорость точки M относи-тельно диска.

Решение. Пусть O₁X₁Y₁Z₁ – неподвижная (основная) система координат, скрепленная с опо-рой. Абсолютное движение точки M в этой задаче – прямо-линейное. Его уравнения (в соответствии с условиями зада-чи): x₁= O₁M = a cos(wt), y₁=0, z₁=0. Движение диска по отношению к неподвижной системе координат – вращательное.

Его уравнение: j=w t (по условию).

В соответствии с вопросом, поставленным в задаче, движение точки M по отношению к системе O₁X₁Y₁Z₁ нужно рассматривать как сложное (составное), для которого состав-ляющими движениями являются: 1) движение точки M относительно диска; 2) движение диска по отношению к неподвижной системе координат.

Значит, подвижную систему координат OXYZ следует скрепить с диском (см. рис.1.11); 1) относительное движение точки M,   2) переносное движение.

Для определения относительной скорости точки M воспользуемся теоремой о сложении скоростей: . Абсолютная скорость точки M в этой задаче определяется соотношением:

.

Переносная скорость точки M определяется как абсолютная скорость точки m (рис.1.11) диска:

.

Вектор  направлен по оси OX₁, вектор  перпенди-кулярен к направлению OM и направлен в сторону вращения диска. Направление и модуль вектора относительной скорости  определяется из параллелограмма скоростей (рис.1.12). Этот рисунок соответствует острому углу j=w t. Получаем в соответствии с чертежом

.

Заметим, что уравнения относительного движения точки M в этой задаче имеют (как это следует из рис.1.11) вид

; ; .

Уравнение относительной траектории получим, исключая время  из этих соотношений:

.

Таким образом, относитель-ная траектория – окружность радиуса a/2 (на рис.1.12 пока-зана штриховой линией), и век-тор  направлен по касатель-ной к ней в направлении отно-сительного движения точки M.

Замечание. Теорема о сложе-нии скоростей приведена для простейшего случая двух составляющих движений. Но она может быть распространена и на случай сложения произвольного числа движений. Допустим, что дано:

1) движение точки M относительно системы координат OXYZ;

2) движение системы OXYZ относительно системы O₁X₁Y₁Z₁;

3)   движение системы  координат  O₁X₁Y₁Z₁  относительно системы O₂X₂Y₂Z₂, принимаемой за основную систему.

В таком случае, определяя скорость  точки M относи-тельно системы координат O₁X₁Y₁Z₁ с помощью соотношения = +  и принимая далее движение точки M относитель-но системы координат O₁X₁Y₁Z₁ за относительное, а движение 3) за переносное, воспользовавшись вновь теоремой о сложении скоростей для определения скорости  точки M по отношению к системе O₂X₂Y₂Z₂, получим

.

Аналогично в общем случае сложения  движений:

,

где  – скорость точки M относительно основной системы координат O_nX_nY_nZ_n (абсолютная скорость);  – относительная скорость точки M по отношению к системе OXYZ;  – первая переносная скорость, получаемая при движении системы координат OXYZ относительно системы O₁X₁Y₁Z₁;  – вторая переносная скорость, получаемая при движении системы O₁X₁Y₁Z₁ относительно системы координат O₂X₂Y₂Z₂, и т.д.

Таким образом, абсолютная скорость точки, совершаю-щей сложное движение, равна геометрической сумме скоростей в составляющих движениях.

Глава 2. Мгновенная ось вращения. Мгновенно вращательное движение тела