Сложение вращательных движений
Постановка задачи. Дано: 1) движение тела T по отношению к системе координат OXYZ – вращательное с осью вращения OZ и угловой скоростью ; 2) движение подвижной системы координат OXYZ по отношению к системе координат O1X1Y1Z1 – вращательное с осью вращения O1Z1 и угловой скоростью . Определить движение тела T по отношению к системе O1X1Y1Z1. При решении этой задачи могут представиться разные случаи, каждый из которых разберем отдельно. 3.3.1. Сложение вращательных движений с пересекающимися осями OZ и O 1 Z 1 Пусть тело T, совершающее сложное движение, - диск (рис.3.3), свободно насаженный на вал B, который вращается (по отношению к неподвижной опоре) вокруг оси O1Z1.
Здесь – угловая скорость вращательного движения диска по отношению к системе координат OXYZ (показана только ось OZ), скрепленной с валом; – угловая скорость вращательного движения вала по отношению к системе координат O1X1Y1Z1, скрепленной с опорой. Теорема. При сложении вращательных движений с угловыми скоростями и , оси которых пересекаются, абсолютное движение тела будет мгновенно вращательным с угловой скоростью . Доказательство. Найдем скорость произвольной точки M тела по отношению к системе O1X1Y1Z1, рассматривая движение точки M как сложное. По теореме о сложении скоростей: . Относительную скорость точки M определим, используя формулу для скорости точки вращающегося твердого тела - , так как по отношению к подвижной системе координат, скрепленной с валом, диск совершает вращательное движение с угловой скоростью . Переносную скорость точки M найдем в соответствии с определением переносной скорости (разд.1.2) - . Здесь m – точка, жестко скрепленная с подвижной системой координат (т.е. с валом), совершающей по отноше-нию к неподвижной системе O1X1Y1Z1 вращательное движе-ние с угловой скоростью . Значит , , т.е. и . Обозначив , получим . (3.1) Из соотношения (3.1) следует, что в данный момент для точки P тела (рис.3.3) , так как и – коллинеарные векторы. Отсюда на основании теоремы о мгновенной оси вращения (разд.2.2) заключаем, что в данный момент существует мгновенная ось вращения тела (это будет прямая Ol, показанная на рис.3.3) и существует вектор такой, что для любой точки M тела , (3.2) т.е. в соответствии с определением, приведенным в гл.2, движение тела – мгновенно вращательное, а вектор мгновенной угловой скорости (что следует из (3.1) и 3.2)). Теорема доказана. В символьной записи: ∾ , где . Замечание 1. Формулировка и доказательство теоремы приведены для случая сложения вращательных движений, но легко заметить, что все рассуждения будут справедливыми и для случая сложения мгновенно вращательных движений. Таким образом, теорема имеет место и для мгновенно вращательных вращений. Замечание 2. Полученный результат легко распространить и на общий случай сложения произвольного числа вращательных движений с пересекающимися в одной точке осями. Пусть дано: 1) движение тела T (диска на рис.3.4) относительно подвижной системы координат OXYZ (показана только ось OZ), скрепленной с валом B, – вращательное с угловой скоростью и осью вращения OZ; 2) движение системы OXYZ (вала B) относительно системы координат O1X1Y1Z1 (скрепленной с рамкой K) – вращательное с угловой скоростью и осью вращения O1Z1;
3) движение системы O1X1Y1Z1 (рамки K) относительно системы координат O2X2Y2Z2, принимаемой за основную (скрепленную с опорой), – вращательное с угловой скоростью и осью вращения O2Z2. Требуется определить движение тела T по отношению к системе O2X2Y2Z2, если оси OZ, O1Z1, O2Z2 пересекаются в одной точке O (рис.3.4). Повторяя рассуждения, аналогичные приведенным выше, принимая при этом движение тела T относительно системы O1X1Y1Z1 за относительное, а движение 3) – за переносное и учитывая замечание 1, получим . (3.3) Сопоставляя (3.3) и (3.2), приходим к результату: абсолютное движение тела – мгновенно вращательное с вектором мгновенной угловой скорости ; Ol - мгновенная ось вращения. В общем случае сложения n движений (в символьной записи): ∾ , . Замечание 3. Справедливо и обратное положение: ∾ , т.е. вращательное (мгновенно вращательное) движение тела с угловой скоростью можно рассматривать как сложное, состоящее из составляющих вращательных (мгновенно вращательных) движений с угловыми скоростями , , оси которых пересекаются. Здесь + = .
Популярное: Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (283)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |