Понятие о производной вектора по скалярному аргументу
Напомним некоторые известные понятия [2, 3, 4, 7, 10]. Пусть в системе координат OXYZ (рис. 1.1) задан переменный вектор (1.1) как непрерывная функция скалярного аргумента t, т.е. вектор-функция. Здесь aX = aX(t), aY = aY(t), aZ = aZ(t) - проекции вектора на оси OX, OY, OZ соответственно; , , - орты этих осей. Как известно [3, 10], производной вектор-функции по скалярному аргументу t называют вектор, определяемый формулой = , (1.2) где – приращение вектора , соответствующее прираще-
нию аргумента Dt = t1-t в выбранной системе координат, т.е. = = (t1)- (t) или =[aX(t1) -aX(t)] +[aY(t1) -aY(t)] +[aZ(t1) -aZ(t)] ; . (1.3) Направлен вектор по касательной к годографу дифферен- цируемого вектора . Напомним также, что годографом вектор-функции называют кривую, описываемую концом вектора , начало которого перенесено в неподвижную в данной системе координат OXYZ точку (например, O), при непрерывном изменении скалярного аргумента t (рис.1.2). Уравнения годографа вектора , заданного в системе координат OXYZ, имеют вид (в параметрической форме) aX = aX(t), aY = aY(t), aZ = aZ(t). (1.4) Из приведенных определений и формул (1.2) – (1.4) следует, что понятия производной вектор-функции по скаляр-ному аргументу и годографа вектора являются относитель-ными и необходимо всякий раз при использовании этих понятий четко указывать выбранную систему координат. Будем рассматривать теперь две системы координат O1X1Y1Z1 и OXYZ, движущиеся одна относительно другой, и вектор-функцию скалярного аргумента t, заданную в этих двух системах координат (рис.1.3). Пусть: = ; (1.5) = . (1.6) Обозначения в формулах (1.5) и (1.6) имеют тот же смысл, что и в формуле (1.1). Далее для определенности будем полагать, что задано движе-ние системы координат OXYZ относительно системы O1X1Y1Z1. В таком случае систему координат O1X1Y1Z1 называют основной (или условно-неподвижной), а систему OXYZ - подвижной. Приращения вектора , соответствующие одному и тому же приращению аргумента Dt = t1-t, будут разными в разных системах координат. При этом приращение вектора в неподвижной (основной) системе координат O1X1Y1Z1 называют абсолютным, обозначая его ; приращение вектора в подвижной системе координат – относительным, обозначая его . Следовательно, = + + ; (1.7) = + + . (1.8) Соответственно этому называют производную вектор-функции по скалярному аргументу в неподвижной системе координат O1X1Y1Z1 абсолютной, обозначая ее , а производную вектор-функции в подвижной системе координат OXYZ - относительной, обозначая ее . Здесь в соответствии с соотношением (1.2): ; . С учетом (1.7) и (1.8) получаем ; (1.9) . (1.10) Заметим, что в общем случае . Действительно, , где сумма первых трех слагаемых есть (по соотношению (1.10)), а последние три слагаемых отличны от нуля вследствие заданного движения системы координат OXYZ по отношению к системе O1X1Y1Z1, что и доказывает наше замечание. Заметим, что в некоторых учебниках и руководствах вместо обозначения используют , относительную производную обозначают [3]. Аналогично будем называть кривую, описываемую в неподвижной системе координат O1X1Y1Z1 концом вектора , начало которого перенесено в точку O1, абсолютным годографом вектора ; кривую, описываемую в подвижной системе координат OXYZ концом вектора , начало которого перенесено в точку O, - относительным годографом вектора . Уравнения абсолютного годографа вектора : ; ; ; уравнения относительного годографа вектора : aX = aX (t), aY = aY (t), aZ = aZ (t).
Популярное: Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (216)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |