Основные законы геометрической оптики

Законы, определяющие изменение направления лучей, позволяют решить очень важные в оптике задачи об изменении направления распространения световой энергии.

Распространение светового луча в геометрической оптике определяется установленными из опыта законами:

Закон прямолинейного распространения света.

Закон независимости световых пучков.

Закон отражения света зеркальной поверхностью.

Закон преломления света на границе раздела двух сред (закон Снеллиуса).

Закон обратимости хода светового луча.

Закон прямолинейного распространения света утверждает, что в однородной среде свет распространяется прямолинейно. Этот закон соблюдается только для однородных сред. При прохождении света через малые отверстия наблюдается отклонение от прямолинейности, тем больше, чем меньше размер отверстия.

Закон независимости световых пучков утверждает, что световые пучки при пересечении не возмущают друг друга.

Закон отражения света означает, что падающий луч, отраженный луч и нормаль к поверхности, восстановленная в точке падения луча, лежат в одной плоскости, причем угол отражения i₀ равен углу падения i (рис.7).

Рис.7

Закон преломления света Снеллиуса формулируется следующим образом: падающий луч, преломленный луч и нормаль к границе раздела двух сред, восстановленная в точке падения луча лежат в одной плоскости. Угол падения i и угол преломления r связаны соотношением (14))

                                                                                         (14)

где  относительный показатель преломления второй среды относительно первой, величина постоянная, не зависит от величины угла падения i и характеризует свойства двух сред, на границе которых происходит преломление светового луча.

  n ₁- абсолютный показатель преломления первой среды

  n ₂ - абсолютный показатель преломления второй среды

рис.8

Кроме того, световые лучи обладают свойством обратимости, это означает, что при отражении и преломлении свет может проходить один и тот же путь в обоих противоположных друг другу, направлениях.

Из рис.7 и рис.8 видно, что при перемене направления падающего луча АВ на СВ отраженный и преломленный лучи распространяются по направлению ВА, причем углы падения и отражения равны i ₀ = , i = i ^/, а угол преломления r равен углу падения i ^/. В этом случае относительный показатель преломления

                                                                                                      (15)

Линзы

Наиболее простой оптической системой является линза, которая представляет собой тело из прозрачного вещества, ограниченное двумя сферическими поверхностями. Идеальная оптическая система может быть представлена совокупностью различных, но строго однородных сред, разделенных резкими границами.

Реальные оптические системы отличаются от идеальных тем, что они обладают рядом оптических недостатков.

Линза называется тонкой, если толщина пренебрежимо мала по сравнению с радиусом кривизны ее поверхности. Если середина линзы толще краев, то линза, находящаяся в оптически менее плотной среде, будет собирающей, в противном случае - рассеивающей. Линия О₁О₂ (рис.9), соединяющая центры кривизны поверхностей, называется главной оптической осью линзы.

                                                         рис.9

Внутри линзы ,на главной оптической оси для обеих поверхностей лежит общая точка «О», называемая оптическим центром линзы. Лучи, проходящие через эту точку, не преломляются, только получают незначительное боковое смещение, так как толщина линзы мала. Любая прямая, проходящая через оптический центр линзы, является оптической осью. Все оптические оси, кроме главной, называются побочными.

Главным фокусом линзы называется точка на главной оптической оси, в которой сходятся все лучи, падающие на линзу параллельно главной оптической оси (рис.10). Если падающие лучи параллельны побочной оси, то они сходятся в точке на побочной оси на расстоянии главного фокуса от оптического центра линзы.

Если рассматривать лучи, идущие под малым углам к главной оси, то можно считать, что побочные фокусы лежат в плоскости, проходящей через главный фокус перпендикулярно главной оси. Эта плоскость называется главной фокальной плоскостью линзы (рис.10).

рис.10

Для двух данных сред, разделенных сферической поверхностью радиуса R, существует постоянная величина Q, называемая нулевым инвариантом Аббе. Она связывает расстояние от границы сферической поверхности до предмета (источника) b и изображения f:

                 (16)

где n ₁ , n ₂ - абсолютные показатели преломления.

Преломленные лучи на вогнутой поверхности (R <0) отличаются от преломления на выпуклой сфере (R >0) тем, что изображение источника S будет вне сферы (слева от сферы) при этом в формуле (16), кроме знака R <0, знак отрезка f также будет отрицательным.

Если изображение S лежит в бесконечности (f = ∞), то d = - F ₁ называется передним главным фокусом преломляющей поверхности и определяется формулой

                                                (17)

Если же d = ∞ (источник S лежит в бесконечности, что эквивалентно параллельному падающему на сферу световому пучку), то f = F называется задним фокусным расстоянием преломляющей поверхности, равным

                                                                   (18)

Умножая формулу (17) на n ₂ , формулу (18) на n ₁ и складывая их, получим выражение связи обоих фокусов поверхности

                                             (19)

Формулы линзы

Пусть гомоцентрический (исходящий из одной точки) пучок лучей от источника S падает на тонкую линзу (радиус 1 -ой сферической поверхности R ₁ , 2-ой сферической поверхности R ₂, показатель преломления – n ₂) (рис.9).

Тогда, используя выражение нулевого инварианта Аббе (16) можно получить основную формулу линзы следующим образом. Для показателя преломления через первую сферическую поверхность запишем

                                                 (20)

Если бы была только граница радиуса R ₁ , то положение изображения S ^// точки S определялось бы отрезком f ₁ ^//. Для второй сферы радиуса R ₂ изображение, полученное на первой сфере, является изображением источника S в линзе, при этом необходимо учитывать, что кривизна R₂ отрицательна

                                                  (21)

Исключая 1 / f 1^// из (20) и (21) с учетом того, что линзу с обеих сторон окружает воздух или другая среда с показателем преломления n ₁ = n ₃, получаем

                             (22) 

или                                                                                                                          

                                                    (23)

d - расстояние от светящейся точки до линзы;

f - расстояние от линзы до изображения.

Это общая формула тонкой линзы.

Для двояковыпуклой линзы при n ₂ > n ₁ , отрезок d и радиус R₂ необходимо подставить со знаком «минус», при этом получаем формулу линзы

                            ,                    (24)

в которую все величины подставлены по модулю, без учёта знака.

Для двояковогнутой (рассеивающей) линзы при n ₂ > n ₁ необходимо подставить геометрические величины d , R ₁ , R ₂ со знаком «минус», тогда получаем формулу

                                      ,              (25)

в которую все величины подставляются по модулю без учета знака.

Чтобы найти положение главного фокуса, надо положить d = ∞, тогда падающие на линзу лучи будут параллельны и f = F, так как лучи соберутся в главном фокусе.

Подставляя в формулу (19), получим

                                                                (26)

Если f = ∞,то d = - F

                          и                                 (27)

Следовательно, F ₁ = - F ₃, если по обе стороны линзы одна и та же среда. Если среды различны (с показателями преломления n ₁ и n ₃, а линза с n ₂), то можно вывести, что

                                           (28)