Определение длины световой волны при помощи колец Ньютона

 

Цель работы :

Работа посвящена ознакомлению с явлением интерференции света в тонких прозрачных плёнках.

 

Литература:

1. А.А. Детлаф, Б.М. Яворский “Курс физики”- М.: Высшая школа, 1999, §§ 31.1-31.3.

2. И.В.Савельев “Курс общей физики” Т.2 ,.-М,”Наука”2000,§§ 119-124.

3. Трофимова Т.И. «Курс физики», –М.: «Высшая школа»,2002,гл.22 §§171-175

 

Теоретическое введение:

Интерференция световых волн

    Интерференция волн – это явление увеличения или уменьшения амплитуды результирующей волны вследствие наложения в пространстве двух или нескольких волн с одинаковыми частотами и постоянным во времени сдвигом фаз.

    Простейшим случаем интерференции является интерференция монохроматических волн от двух точечных источников S ₁ и S ₂ в однородной среде (рис.18).

   

Рис.18

Монохроматическая волна – это идеальная синусоидальная волна, бесконечная во времени и пространстве. Её частота, амплитуда и длина волны в однородной среде не меняются.

    Рассмотрим распространение колебаний в среде, свойства которой не зависят от происходящих в ней процессов. В этом случае соблюдается принцип суперпозиции. Каждый волновой процесс распространяется независимо от других и результирующее колебание представляет собой геометрическую сумму колебаний, вызванных отдельными волнами.

    Источники посылают в исследуемую точку В колебания, описываемые уравнениями.

                                   (44)

                                   (45)

    Уравнение колебаний в точке В  будут иметь вид

                        (46)

                       (47)

Амплитуда результирующего колебания в данной точке определяется формулой

 ,                      (48)

где ∆φ= φ₁- φ₂  – разность фаз складывающихся колебаний в точке В (сдвиг фаз).

Если ∆φ остается постоянной во времени, то волны называются когерентными.

Обе волны приходят в каждую точку различными путями, поэтому разность фаз меняется от точки к точке, а вместе с тем изменяется и значение результирующей амплитуды.

В точках, где ∆φ = 2 m π (m – целое число), амплитуда максимальна      

А = А₁ + А₂

В точках, где ∆φ = (2 m + 1)π, амплитуда минимальна

А = ½ А₁ - А₂ ½

Интерференция может наблюдаться только при наложении когерентных волн.

Так как интенсивность колебаний пропорциональна квадрату амплитуды ( J ~ A ² ) , то при наложении когерентных волн происходит перераспределение светового потока в пространстве, в результате чего в одних областях возникают максимумы, а в других – минимумы интенсивности.

Для двух (или нескольких) световых волн разность фаз постоянна во времени, если эти волны испущены одним источником.

Излучателями света являются атомы и молекулы. Атом испускает свет в течение очень короткого промежутка времени, порядка 10^-8с. При следующем излучении волна будет иметь уже другую начальную фазу φ. Акты излучения следуют друг за другом при хаотически изменяющихся начальных фазах φ. Поэтому если S ₁ и S ₂ – два разных источника света, то ∆φ будет хаотически изменяться через промежутки времени порядка 10^-8с. Следовательно, амплитуда результирующей волны также быстро будет изменяться со временем.

При наблюдении явления наложения световых волн практически измеряется среднее значение амплитуды за отрезок времени, значительно больше, чем время излучения, т.е. наблюдается среднее статистическое значение суммарного эффекта. Таким образом, при наложении волн от двух (или нескольких) разных источников света интерференция не обнаруживается из-за некогерентности волн. Нарушение когерентности будет в том случае, если складываются два световых пучка, испускаемых одним источником, но принадлежащие к разным актам испускания.

При выполнении условия когерентности разность фаз складывающихся волн ∆φ будет

 ,                                 (49)

где  - геометрическая разность хода;

               l    - длина волны, зависящая от частоты колебаний излучателя и показателя преломления среды, в которой распространяются волны.

Известно, что

 ,

где l _о - длина волны в вакууме;

      n - показатель преломления среды,

тогда[L1] для нахождения ∆φ получается выражение

                              (50)

Величина , равная произведению геометрической разности хода волн на показатель преломления среды, в которой распространяются волны, называется оптической разностью хода волн.

При соблюдении условия когерентности величина результирующей амплитуды будет зависеть от разности хода.

А _max = А₁ + А₂ для точек, где ∆φ = 2 m p , где

, откуда     (51)

(Условие максимума интенсивности)

Таким образом, амплитуда максимальна в точках волнового поля, для которого оптическая разность хода равна четному числу полуволн.

 

А _min = |А₁ - А₂|    для точек , где ∆φ = (2 m + 1)π

откуда                                                    (52)

(Условие минимума интенсивности)

т.е. амплитуда будет минимальна в точках волнового поля, для которых оптическая разность хода равна нечетному числу полуволн.

Интерференция в тонких пленках.

Для получения двух когерентных световых волн различные, независимые источники непригодны. Однако наблюдать явление интерференции возможно, если заставить волну, излучаемую отдельными атомами, интерферировать саму с собой. Этого можно добиться, разделив испускаемое излучение на два луча, например, путем отражения или преломления, и заставив их встретиться после того, как ими были пройдены различные пути. Взаимная когерентность разделенных лучей не нарушается, если исходный луч был лучом естественного света. В этом случае для каждого луча монохроматических волн, испускаемого другими атомами, после его раздвоения и прихода в точку встречи остается та же разность фаз, и интерференционная картина в точности повторится. При этом необходимо подчеркнуть, что интерференция луча от естественного источника света самого с собой возможна лишь при разностях хода не более 3 м , поскольку в этом случае волны принадлежат одному цугу. Через время 10^-8с, при следующем излучении атома, волна имеет уже другую начальную фазу, а следовательно нарушается условие когерентности.

Явление интерференции имеет место при освещении тонких прозрачных пленок.

Рассмотрим плоскопараллельную пластинку с показателем преломления nи толщиной d, соизмеримой с длиной волны l, на которую падает под углом i плоская монохроматическая волна (рис.19). По обе стороны от пластинки находится воздух ( n _в = 1, n > n _в ).

Рис.19

Падающий луч ОА частично отражается (лучи 1, 2, 3 …), частично проходит через пластинку (лучи 1^/, 2^/, 3^/ …). Причем согласно закону преломления света

         

Вследствие большой потери интенсивности при каждом отражении от двух граней ( для прозрачных пленок потеря интенсивности отраженного луча может достигать 95 % ) влиянием лучей 3, 4, 5 … также как и 3^/, 4^/, 5^/ … на результат интерференции можно пренебречь, то есть можно рассматривать в отраженном свете только лучи 1 и 2, а в проходящем – лучи 1^/ и 2^/. Рассмотрим интерференцию в отраженном свете (лучей 1 и 2).

В случае, если источник света находится в бесконечности, отраженные от поверхности лучи идут параллельно и наблюдение проводится глазом, адаптированным на бесконечность или же в фокальной плоскости собирающей линзы. В этом случае оба интерферирующих луча 1 и 2 происходят от одного падающего луча, а значит они когерентны.

В зависимости от разности хода лучей ,при их наложении в пространстве будут наблюдаться максимум или минимум. Поскольку интерференционная картина определяется оптической разностью хода между интерферирующими лучами, то необходимо найти эту разность.

Оптическая разность хода лучей 1 и 2:

,

где     АВ    – ход луча 1;

   (А D + D С) n – ход луча 2.

    Поскольку А D = D С

( АС = 2d tg r , sin i = n sin r )

Либо учитывая

                                      (53)

Кроме того при отражении луча 1 от оптически более плотной среды, фаза колебаний вектора  (светового вектора) изменяется на p , это эквивалентно «потере» полволны.

    В результате оптическая разность хода двух лучей оказывается равной

                        (54)

В зависимости от величины d получается тот или иной интерференционный эффект.

Будет наблюдаться максимум интенсивности, если

                (55)

(оптическая разность хода содержит четное число полуволн), где m =0,1,2…(порядок интерференционного максимума)

И минимум интенсивности, если

           (56)

(оптическая разность хода содержит нечетное число полуволн), где m =0,1,2…(порядок интерференционного минимума)

В случае освещения белым светом отраженный свет будет в зависимости от n , d и i иметь ту или иную окраску. Если толщина пленки различна в разных местах, то для одних точек будет выполняться условие максимума, для других – минимума. На поверхности пленки будут наблюдаться линии максимумов и минимумов интенсивности, которые проходят по точкам, соответствующим равной толщине, и поэтому называемые полосами равной толщины. При изменении угла падения лучей i будет меняться разность хода d , а, следовательно, и положение максимумов и минимумов интенсивности. Геометрическое место точек, соответствующее одинаковым интенсивностям, а, следовательно, и одинаковым углам падения, в этом случае образуют линии, называемые полосами равного наклона.

В проходящем свете нет «потери» полуволны, поэтому условие интерференционного максимума

                (57)

минимума

           (58)

где m =0,1,2…

 

 

Кольца Ньютона.

Один из случаев интерференции света в тонкой пленке представляет собой явление, известное под названием колец Ньютона. Кольца Ньютона – это полосы равной толщины.

Кольца Ньютона наблюдаются, когда выпуклая поверхность линзы малой кривизны соприкасается в некоторой точке с плоской поверхностью хорошо отполированной пластинки. Оставшаяся между ними воздушная прослойка постепенно утолщается от точки соприкосновения к краям. Эта воздушная прослойка и является «тонкой пленкой». Если на систему падает пучок параллельных лучей монохроматического света, то световые волны, отраженные от верхней и нижней границ воздушной прослойки, будут интерферировать между собой, давая при этом картину концентрических светлых и темных колец убывающей ширины с темным пятном посередине, т.е. в месте соприкосновения линзы и плоскопараллельной пластины.

Если свет немонохроматический, то получается система цветных колец. Нетрудно рассчитать радиус светлых колец, предполагая, что монохроматический свет падает параллельным пучком.

Пусть параллельный пучок света падает нормально к плоской поверхности плосковыпуклой линзы большого радиуса кривизны R, находящейся на плоской пластинке и имеющей с ней точку соприкосновения О (рис.20).

рис. 20

Геометрическая разность хода лучей, отраженных от верхней и нижней границ воздушной прослойки, равна приблизительно 2 d, где d – толщина пленки. Оптическая разность хода

Добавление l ₀ / 2 обусловлено сдвигом по фазе на p при отражении света от поверхности пластины. Для воздуха показатель преломления n = 1, поэтому

                                        (59)

Условие образования m-ого светлого кольца (в отраженном свете)

                                   (60)

где d _m – толщина воздушного зазора в месте m-ого кольца.

Из подобия прямоугольных треугольников АВО и АВD следует, что

 , но  ВО = d _m ; АВ = r_m ( r_m – радиус m-ого светлого кольца ),

D В = 2 R – d » 2 R, поскольку d <<2 R.

Тогда  , а следовательно

                                              (61)

Используя условие максимума

Получим  , а следовательно

                                (62)

где m =1,2,3…

Измеряя радиусы колец, можно, пользуясь соотношением (62), найти длину волны λ. Радиус m-ого темного кольца Ньютона в отраженном свете (условие минимума) определяется соотношением

,( m =0,1,2…)                               (63)

Очевидно, что проходящем свете условие максимума (светлое кольцо)

,( m =0,1,2…)                               (64)

условие минимума (темное кольцо)

,( m =1,2,3…)

 

Описание установки и метода измерений.

Плосковыпуклая линза с малой кривизной поверхности приводится в соприкосновение с плоской стеклянной пластинкой и укрепляется в оправе. Кольца можно наблюдать как в белом, так и в монохроматическом свете. В первом случае образуются радужные кольца, во втором – в центре находится темное пятно (минимум нулевого порядка), которое окружено системой чередующихся светлых и темных колец.

Измеряя радиусы колец, можно с помощью формулы (62) вычислить длину волны, однако радиусы колец малы, поэтому непосредственное измерение окажется неточным. В данной работе предлагается следующий способ определения радиусов колец Ньютона.

Установка для получения колец Ньютона освещается сильным белым светом от осветителя S . Отраженный свет проецируется линзой L на экран Э(рис.21). На экране получается увеличенное изображение колец Ньютона. Для определения увеличения одновременно с кольцами на экран проецируется масштабная сетка.

Рис.21

Измеряют диаметры увеличенных колец и, учитывая увеличения, находят истинные радиусы

                                      (65)

где D _ср - диаметр колец на экране;

    g  - увеличение, даваемое линзой.

Либо учитывая, что D _ср =2 r_m определяется значение

                                     (66)

Из формулы (62) можно определить длину волны l или радиус кривизны поверхности линзы R, но так как вследствие упругой деформации стекла невозможно добиться точечного соприкосновения сферической поверхности линзы и плоской пластинки, то более точный результат получается, если вычислить l или R по разности радиусов двух колец r_k и r_m.

Подставляя (61) в (59), получим

                                       (67)

Для светлого k-ого кольца (условие max)

                                           (68)

Приравнивая (67) и (68), получим

откуда для k-ого светлого кольца

                                  (69)

Аналогично для m-ого светлого кольца

                              (70)

Вычитая из (70) выражение (69), получим

                           (71)

    Либо выражая из (71) величину l

                        (72)

Это выражение является расчетной формулой в данной лабораторной работе.

Обработка результатов измерений.

1. Определяют среднее значение диаметров D измеренных колец красного цвета.

2. Определяют увеличение, разделив периметр изображения квадрата, полученного на экране, на истинную длину периметра.

3. Зная увеличение, определяют истинные радиусы r _ист колец.

4. По расчетной формуле определяют длину волны l, комбинируя различным образом пары колец. Например, 1-е с 3-м, 2-е с 4-м и т.д. Результаты измерений и вычислений заносят в таблицу.

5. Вычисляют среднюю длину волны l _ср, погрешность ∆ l отдельных измерений и среднюю абсолютную погрешность ∆ l _ср, а также относительную погрешность e _l .

Таблица результатов измерений.

№№ колец	D 1 , мм	D 2, мм	D ср, мм	r ист, мм	Пара колец	rm + rk, мм	rm - rk, мм	l, мкм	∆ l, мкм
1.
2.
3.
4.
5.

 

Окончательный результат l _ср =          , D l _ср =        , e _l =

l = l _ср ± D l _ср =

 

Контрольные вопросы.

10. Какое явление называется интерференцией?

11. Каково содержание принципа суперпозиции?

12. В чем состоит условие когерентности? Какое значение оно имеет для явления интерференции? При каких условиях будут когерентны световые волны?

13. Выведите формулу оптической разности хода dпри интерференции в тонких пленках.

5. Каковы условия образования максимумов и минимумов при интерференции?

6. При каком условии отраженная волна изменяет фазу колебаний на противоположную?

7. Объясните явление окрашивания тонкой пленки в отраженном свете.

8. В чем состоит явление образования колец Ньютона? Выведите формулу для расчета m ^ого светлого кольца Ньютона.

10. Выведите расчетную формулу для определения длины световой волны с помощью колец Ньютона. 

 

Лабораторная работа № 55

 

Определение длины световой волны при помощи дифракционной        решетки.

 

Цель работы:

Ознакомление с явлением дифракции.

Литература:

1.Детлаф А.А., Яворский Б.М., Курс физики, 1999 § § 32.1-32.4

2. Трофимова Т.И. «Курс физики», –М.: «Высшая школа»,2002,гл.23 §176-180

Теоретическое введение:

Дифракция – это огибание волной препятствий, когда их размеры сравнимы с длиной волны λ. В частности – это попадание света в область геометрической тени.

В основе волновой теории света лежит принцип Гюйгенса: каждая точка волнового фронта является источником вторичных когерентных волн. Поверхность, огибающая вторичные волны, представляет собой поверхность волнового фронта в последующий момент времени.

Фронт волны – это геометрическое место точек, до которых волна доходит к определенному моменту времени t. Для точечного источника фронт волны представляет собой сферическую поверхность с центром в точке расположения источника. Плоская волна – это такая, у которой плоский волновой фронт.

Френель дополнил принцип Гюйгенса идеей об интерференции волн, испускаемых вторичными источниками волнового фронта. Метод Гюйгенса -Френеля позволяет рассчитать распределение интенсивности света в разных направлениях в зависимости от формы и размеров препятствий на пути волны, т.е. решить задачи дифракции.

Рассмотрим метод зон Френеля. Пусть сферическая волна распространяется от источника в точке A (рис. 22) в точку наблюдения B.

Рис.22

Разобьем поверхность волнового фронта S на зоны такого размера, чтобы расстояния от краев зоны до точки наблюдения Bотличались на λ/2:

M₁В – М₀В = М₂В – М₁В = М₃В – М₂В = … = λ/2

Зоны Френеля – это кольцевые области на сферическом волновом фронте (см. рис. 22). Таким образом, построение Френеля разбивает сферический волновой фронт на равновеликие зоны, причем действия соседних зон ослабляют друг друга, т.к. посылаемые ими колебания светового вектора дойдут до точки В в противоположных фазах.

Пусть волна, идущая из точки А, встречает на пути экран с круглым отверстием (рис. 23).

Рис .23

Если число зон Френеля открытых отверстием, будет четным, то интенсивность света в точке наблюдения В будет минимальной, т.к. волны каждой соседней пары зон взаимно гасят друг друга. Если же число открытых зон нечетное, то волны, идущие от одной из зон, останутся непогашенными, и в точке Внаблюдается максимум интенсивности.

В данной работе рассматривается дифракцияФраунгофера – это дифракция в параллельных лучах (т.е. дифракция плоской волны). Для наблюдения дифракционной картины в этом случае необходима линза, которая собирает пучки параллельных лучей, идущие в разных направлениях, в различных точках своей фокальной плоскости.

Рассмотрим дифракцию параллельных лучей на длинной узкой щели. Для расчета дифракционной картины можно применить метод зон Френеля. Пусть монохроматическая волна с длиной волны λ падает нормально к плоскости щели (рис. 24)

                  Рис. 24                                  Рис. 25

Щель вырезает часть фронта падающей световой волны. Все точки этой части фронта, согласно принципу Гюйгенса-Френеля, являются когерентными источниками волн, распространяющихся во все стороны от щели (см. рис. 24). АВ – фронт волны, падающей на щель (рис. 25), АС – фронт волны, дифрагирующей под углом φ, δ = ВС – разность хода крайних лучей, идущих от щели под углом φ. Как видно из рис.25, δ = a sin φ, где а – ширина щели.

Если δ = а sin φ = ± 2кλ/2, то это означает, что для данного угла дифракции φ на ширине щели укладывается четное число зон Френеля. Следовательно, в данном направлении будет наблюдаться дифракционный минимум, т.к. действия соседних зон ослабляют друг друга, поскольку колебания светового вектора, посылаемые соседними зонами, происходят в противофазе. Таким образом, условие минимума интенсивности

a sin φ = ± k λ                                         (73)                                                   

k = 1, 2, 3…

Если же δ = а sin φ = ± (2 к + 1) λ ∕ 2, то для этого направления φ на ширине щели укладывается нечетное число зон Френеля, что соответствует дифракционному максимуму. 

В направлении φ = 0 наблюдается самый интенсивный центральный максимум, т.к. колебания светового вектора, вызываемые всеми участками щели, совершаются в одной фазе.

Распределение интенсивности света на экране при дифракции на одной щели показано на рис. 26. Почти весь свет сосредоточен в области центрального максимума, интенсивности вторичных максимумов составляют всего несколько процентов от интенсивности центрального.

Рис. 26

Положение дифракционных максимумов и минимумов зависит от длины волны света λ. Поэтому при дифракции белого света на экране наблюдается совокупность дифракционных картин для разных цветов, сдвинутых относительно друг друга. Центральный максимум (φ = 0) будет общим для всех λ.

Дифракционная решетка – это совокупность большого числа одинаковых параллельных щелей, лежащих в одной плоскости и разделенных равными по ширине непрозрачными промежутками b (рис. 27). Величина d = а+b называется периодом решетки (или постоянной решетки).

Рис. 27

Условие дифракционного минимума (73) для одной щели сохраняется и для решетки, т.к. это условие определяет направления, в которых ни одна из щелей не посылает света.

Кроме того, вследствие интерференции света, идущего от различных щелей решетки, появляются добавочные минимумы, определяемые условием

d sin φ = ± n / N λ ,                                              (74)

где    n = 1, 2…N – 1, N + 1…

    N – число щелей решетки. 

В направлениях, определяемых из условий

d sin φ = ± k λ                                                     (75)                             

k = 0, 1, 2, 3…

действие всех щелей взаимно усиливается (см. рис. 27). Колебания светового вектора Ē, посылаемые от соответственных точек каждой щели (эти точки находятся на расстоянии d друг от друга), в точке наблюдения на экране происходят в одинаковой фазе, т.к. разность хода лучей δ = d sin φ = к λ, и усиливают друг друга. Этим направлениям соответствуют главные максимумы интенсивности. Как видно из формул (74) и (75), между двумя главными максимумами располагается (N – 1) дополнительных минимумов, разделенных вторичными максимумами.

На рис. 28 показано распределение интенсивности на экране при дифракции монохроматического света на решетке. Пунктиром дана кривая интенсивности в случае одной щели.

Рис. 28

Поскольку для одной щели центральный максимум гораздо интенсивнее остальных, то и при дифракции на решетке почти весь свет сосредоточен в области центрального максимума, обусловленного одной щелью, т.е. в пределах  

 sin φ = ± λ / а. С увеличением числа щелей решетки N растет интенсивность главных максимумов, они делаются более резкими, узкими, разделенными практически темными промежутками, т.к. интенсивность вторичных максимумов очень мала.

Положение главных максимумов на экране зависит от λ, таким образом, дифракционная решетка является спектральным прибором. При пропускании через решетку белого света все главные максимумы, кроме нулевого k = 0, растягиваются в спектры так, что внутренним краем (ближе к центру дифракционной картины) являются фиолетовые, а наружным – красные лучи. Спектры 1 – го, 2 – го и т.д. порядков располагаются симметрично по обе стороны от нулевого. Расстояние между соответствующими линиями спектров возрастает по мере увеличения порядка спектра k. Спектры высших порядков могут перекрываться.