Анализ таблиц сопряжённости

Рассмотрим два номинальных признака Х и Y. Признак Х может принимать значения Х1, X2,…,Xr, а признак Y принимает значения Y1, Y2,…,Ys.

 

 

 

Будем предполагать, что выборка сформирована методом перекрестного отбора, то есть из генеральной совокупности случайным образом отобрано n объектов, и для каждого из них зафиксированы значения признаков X и Y.

Выдвинем гипотезы:

 

где pij - вероятность того, что Х=Хi и Y=Yj; pi* - вероятность того, что Х=Хi; pj* - вероятность того, что Y=Yj;

Для проверки гипотезы по критерию Пирсона используется статистика

 

.

 

При справедливости Н0 эта статистика имеет распределение χ2 с числом степеней свободы ν=(r-1)(s-1). Так как r=s=2, то ν=1.

Меры связи признаков Х и Y таблицы сопряженности 2*2:

. Фи-коэффициент

 

 

. Коэффициент сопряженности Пирсона

 

 

. Коэффициент контингенции

 

 

. Тау-коэффициент Гудмана и Краскала

 

 

5. Коэффициент ассоциации (коэффициент Юла)

 

 

При n→∞ ,

Доверительный интервал с надежностью γ для коэффициента ассоциации:

 

 

. Коэффициент коллигации

 

 

. Отношение перекрестных произведений

 

 

Меры связи признаков Х и Y таблицы сопряженности r*s:

) Меры связи, основанные на статистике «Хи-квадрат»

. Фи-коэффициент

 

 

. Коэффициент Чупрова

 

 

. Коэффициент Крамера

 

 

. Коэффициент сопряженности Пирсона

 

 

При n→∞ последние три коэффициента согласно закону больших чисел подчиняются нормальному закону распределения.

 

 

где

 

 

Доверительные интервалы с доверительной вероятностью γ для генеральных коэффициентов сопряженности:

 

) Меры связи Гудмана и Краскала λа, λв, λ.

λв - асимметричный коэффициент, изучает зависимость Y от Х.

 

,

 

где nimax - максимальная частота i-й строки; n*max - максимальный элемент итоговой строки.

Значение коэффициента λв показывает, что вероятность ошибки предсказания признака Y при известной информации о принадлежности наблюдения к классу признака Х снизится на λв*100% по сравнению с ситуацией, когда такой информации нет.

Интервальная оценка  - генеральной оценки коэффициента λв;

- сумма только таких максимальных элементов строк nimax, для которых значения i обеспечивают попадание как раз в тот столбец, где находится наибольший итог.

 

λа эквивалентен λв с учетом перемены строк и столбцов между собой, является асимметричным коэффициентом, определяет степень зависимости Х от Y.

 

,

 

где nmaxj - максимальная частота j-го столбца; nmax* - максимальный элемент итогового столбца.

Коэффициент λа показывает, что улучшение средней величины относительного изменения вероятности ошибки предсказания категории признака, располагающегося по столбцам таблицы, при изменении категории признака, располагающегося по строкам, составит λа *100%.

Для получения интервальных оценок воспользуемся статистикой, имеющей приближенное единичное нормальное распределение:

 - генеральная оценка коэффициента λв; - сумма только таких максимальных элементов столбцов nmaxj, для которых значения j обеспечивают попадание в ту строку, где находится наибольший итог.

 

 

Если при анализе таблиц сопряженности не интересует последовательность расположения классов по признакам, то есть не важно, зависит Х от Y или наоборот, то используется коэффициент λ. Этот коэффициент находит усредненную величину прогноза между переменными.

 

) Меры связи Гудмана и Краскала τа, τв, τ.

При построении коэффициентов λ возникают трудности, связанные с обращением коэффициентов λ в ноль. Коэффициенты τа, τв, τ лишены этих недостатков. τ-меры предсказывают различные категории в пропорции, которая имеет место для их наблюдаемых итогов.

Коэффициент τв сравнивает случайный, пропорциональный прогноз признака Y со вторым признаком Х и рассчитывает условное, пропорциональное предсказание класса Y, при предположении, что имеется информация о принадлежности объекта к одному из классов признака Х. Этот коэффициент связи является асимметричным.

 

 

При прогнозировании категорий признака Х в зависимости от Y, то есть строк таблицы сопряженности в зависимости от столбцов, применяется коэффициент τа:

 

 

Данная мера показывает, что неправильный прогноз категории признака Х для случайно взятого объекта при условном пропорциональном прогнозировании по сравнению с безусловным пропорциональном прогнозом уменьшится на *100%.

Для получения симметричной меры τ случайно выбранный объект с вероятностью ½ прогнозируется по признаку Х или по признаку Y. Этот симметричный коэффициент получается в виде усредненных коэффициентов τа, τв:

 

 

Логлинейный анализ

Логлинейная модель называется насыщенной, если она включает влияние всех факторов и всех взаимодействий факторов. Насыщенная логлинейная модель для трёхмерной таблицы сопряжённости размерности (r x s x t) имеет вид , где для насыщенной модели . - среднее значение логарифма частоты (общий эффект),  - влияние признака Х,  - влияние признака Y,  - влияние признака Z,  - влияние взаимодействия признаков X и Y,  - влияние взаимодействия всех трёх признаков.

Ограничения на параметры насыщенной логлинейной модели имеют вид

 

.

 

Для трёхмерной таблицы сопряжённости можно построить 18 иерархических ненасыщенных моделей. Логлинейная модель называется иерархической, если выполняется правило: если в модель включён параметр, зависящий от множества p факторов, то в модель должны быть включены и все параметры, зависящие от любого подмножества факторов из множества p. Пример модели, не являющейся иерархической: .

Выполнение задания 1

Рассчитаем теоретические частоты в таблице сопряжённости:

 

Таблица 1 - теоретические частоты в таблице сопряжённости

	Удовл	Не удовл
Мужчины	468,5649	72,43515	541
Женщины	359,4351	55,56485	415
	828	128	956

 

Проверим гипотезу  (о независимости значения признака «Удовлетворённость качеством» от пола покупателя), используя критерий «Хи-квадрат». , . , следовательно, гипотезу о независимости принимаем на уровне значимости 0,05.

Вычислим оценки коэффициентов связи: , , , , , , , , , , , .

По малым значениям коэффициентов связи мы можем судить о независимости признаков.

 

Выполнение задания 2

Рассчитаем теоретические частоты в таблице сопряжённости:

 

Таблица 2 - теоретические частоты в таблице сопряжённости.

	Знакомы	Не знак.	Уклонилсь
Участвуют	446,04234	393,84589	94,1117697	934
Не участвуют	64,948349	57,34801	13,703641	136
Затруднились	53,009314	46,806097	11,1845893	111
	564	498	119	1181

 

Проверим гипотезу  (о независимости значения признака «Знакомы с программами депутатов» от готовности участия в выборах), используя критерий «Хи-квадрат». , . , значит, гипотезу о независимости отвергаем на уровне значимости 0,05.

Вычислим оценки коэффициентов связи: , , , , , , , , , .

По значениям коэффициентов связи делаем вывод - существует слабая связь между значениями признаков «Знакомы с программами депутатов» и «Готовность к участию в выборах». Исходя из значения коэффициентов  и , можем сделать вывод о наличии связи средней силы.

Построим доверительные интервалы для коэффициентов связи: , , , , .

 

Выполнение задания 3

Насыщенная модель имеет вид

 

 

Рассчитаем параметры для насыщенной модели и проверим их значимость:

 

Коэф-ты		Нормир.	Значим?
u0	4,332103	83,79929	Значим
u1(a)	-0,0162	-0,31341	Незначим
u1(b)	0,485375	9,388996	Значим
u1(с)	0,944783	18,27569	Значим
u2(a)	0,016202	0,313415	Незначим
u2(b)	-0,48538	-9,389	Значим
u2(с)	-0,94478	-18,2757	Значим
u11(ab)	0,063678	1,23178	Незначим
u11(aс)	-0,055	-1,06399	Незначим
u11(bс)	0,088763	1,717014	Незначим
u12(ab)	-0,06368	-1,23178	Незначим
u12(aс)	0,055004	1,063994	Незначим
u12(bс)	-0,08876	-1,71701	Незначим
u21(ab)	-0,06368	-1,23178	Незначим
u21(aс)	0,055004	1,063994	Незначим
u21(bc)	-0,06368	-1,23178	Незначим
u22(aс)	0,063678	1,23178	Незначим
u22(ab)	-0,055	-1,06399	Незначим
u22(bс)	0,088763	1,717014	Незначим
u111(abc)	0,125212	2,422067	Значим
u112(abc)	-0,12521	-2,42207	Значим
u121(abc)	-0,12521	-2,42207	Значим
u122(abc)	0,125212	2,422067	Значим
u211(abc)	-0,12521	-2,42207	Значим
u212(abc)	0,125212	2,422067	Значим
u221(abc)	0,125212	2,422067	Значим
u222(abc)	-0,12521	-2,42207	Значим

 

Из таблицы следует, что значимое влияние на исследуемые показатели оказывают факторы «Удовлетворённость сроками» и «Удовлетворённость качеством», а также взаимодействие всех трёх факторов (включая «Клиенты фирмы»).

 

Рисунок 1 - проверка модели AB/BC в программном пакете Statistica

 

Среди ненасыщенных иерархических моделей наиболее адекватной является модель AB/BC. Она имеет вид  Рассчитаем теоретические частоты и оценки коэффициентов в модели AB/BC.

Теоретические частоты в трёхмерной таблице сопряжённости:

 

	Удовл. сроками	Удовл. кач-вом
		Да	Нет
Орг-ии	Да	385,53299	48,46701
	Нет	91,029851	15,97015
Частные лица	Да	314,46701	39,53299
	Нет	136,97015	24,02985

 

Получим , . , следовательно, данная ненасыщенная модель адекватна исходным данным.

Рассчитаем параметры для данной ненасыщенной модели:

 

Коэф-ты		Нормир.	Значим?
u0	4,330562	83,00143	Значим
u11(ab)	0,153081	2,934013	Значим
u11(bс)	0,083319	1,596935	Незначим
u12(ab)	-0,15308	-2,93401	Значим
u12(bс)	-0,08332	-1,59693	Незначим
u21(ab)	-0,15308	-2,93401	Значим
u21(bс)	-0,08332	-1,59693	Незначим
u22(ab)	0,153081	-2,93401	Значим
u22(bс)	0,083319	2,934013	Значим

 

Из таблицы следует, что значимое влияние на результативный показатель оказывает взаимодействие факторов «Клиенты фирмы» и «Удовлетворённость сроками».