Непараметрические методы проверки гипотез об однородности распределения двух совокупностей

 

Исходные данные представляют собой повторные парные наблюдения или попарно связанные выборки, то есть когда для каждого объекта Oi (i=1,n) имеется два значения: xi и yi («до обработки» и «после обработки»).

 

объект
1
2
…	…	…
n

 

Ставится задача выяснить, есть ли эффект «обработки».

Решение такой задачи сводится к проверке гипотезы об однородности распределения совокупностей Х и Y.

. С помощью критерия Хи-квадрат проверяется гипотеза о согласии распределений совокупностей Х и Y.

Рассматриваются зависимые выборки Х и Y объемом n. Выберем распределение FX(x) случайной величины Х за теоретическое и проверим гипотезу о согласии распределений совокупностей Х и Y. Выдвинем гипотезы:

 

 

Для проверки этой гипотезы воспользуемся критерием χ2:

 

.

 

При n→∞ эта статистика распределена по закону χ2 с числом степеней свободы ν=n-1.

2. С помощью рангового критерия Вилкоксона и критерия знаков Фишера проверяется гипотеза об отсутствии эффекта «обработки».

Решение задачи об определении влияния эффекта «обработки» сводится к проверке гипотезы об однородности распределения двух зависимых совокупностей X и Y.

Рассматривается модель вида:

 

,

 

где θ - неизвестный параметр, характеризующий сдвиг совокупности; ei, i=1,n - ненаблюдаемая случайная величина, характеризующая отклонения zi и θ.

Выдвигаются гипотезы:

 (совокупности Х и Y не различаются по характеристике положения),  (совокупности Х и Y различаются по характеристике положения)

Проверка нулевой гипотезы осуществляется с помощью критерия знаковых рангов Вилкоксона и критерия знаков Фишера.

При проверки гипотезы Н0 с помощью критерия знаковых рангов Вилкоксона на еi накладываются следующие ограничения:

1) все еi i=1,n, взаимонезависимы;

2) еi принадлежат непрерывно совокупности (не обязательно одной и той же), симметричной относительно нуля.

Статистика положительных ранговых знаков Вилкоксона имеет вид:

 

,

 

где Ri - ранги |zi| в совокупности, упорядоченной по увеличению абсолютных разностей; .

Если zi=0, то эти значения исключаются, в результате чего объем выборки n уменьшается.

При объеме выборки n→∞ статистика имеет нормальный закон распределения:

 

 

Для проверки гипотезы  также может использоваться критерий знаков Фишера. В этом случае на еi накладываются следующие ограничения:

. Все еi взаимно независимы;

. Все ei извлечены из непрерывной (не обязательно одной и той же) совокупности, имеющей медиану, равную нулю.

Критерий знаков Фишера накладывает на параметры ei более слабые ограничения, следовательно, критерий знаковых рангов Вилкоксона более мощный.

Для построения критерия Фишера определяются счетчики .

Статистика знаков Фишера имеет вид: .

Значения критических точек этой статистики затабулированы.

В условиях справедливости нулевой гипотезы статистика имеет асимптотическое стандартное нормальное распределение.

3. Если гипотеза об отсутствии эффекта «обработки» отвергнута, необходимо оценить параметр, характеризующий сдвиг совокупности.

Определяются точечные и интервальные оценки параметра сдвига θ.

Точечная оценка θ Ходжеса-Лемана, основанная на статистике знаковых рангов Вилкоксона, рассчитывается по формуле:

 

,

 

где М=n(n+1)/2; wj, j=1,M - упорядоченные по возрастанию средние значения .

Проверяются гипотезы . Для этого необходимо при реализации критерия Вилкоксона рассматривать не zi, а .

Если гипотеза не отвергается, необходимо построить доверительный интервал для статистики θ с надежностью γ:

Строится упорядоченная совокупность

Границы доверительного интервала (θl; θu) определяются следующим образом:

При объеме выборки n→∞ статистика Вилкоксона распределена нормально, поэтому число сα находится по формуле

 

.

 

Выполнение задания 4

Имеем зависимые совокупности.

Проверим гипотезу (об однородности распределения совокупности до и после обработки) с помощью критерия .

Получаем , . Поскольку , гипотезу Н0 отвергаем, следовательно, распределения совокупностей неоднородны. Оценим параметр сдвига.

Выдвинем гипотезу .

Вычислим значения статистик Фишера и Вилкоксона:

 

Wilcoxon Matched Pairs Test (Spreadsheet1) Marked tests are significant at p <,05000

	Valid	T	Z	p-level
Y & X	10	4,000000	2,191691	0,028403

 

Sign Test (Spreadsheet1) Marked tests are significant at p <,05000

	No. of	Percent	Z	p-level
Y & X	9	77,77778	1,333333	0,182422

 

Так как критерий Вилкоксона является более мощным, то мы отвергаем гипотезу Н0 об отсутствии эффекта обработки.

Найдём сдвиг. M - чётное, значит  Получим оценку сдвига. Следовательно, работа со специальными упражнениями ускорила решение примеров в среднем на 14 секунд.

Вычислим значения статистик Фишера и Вилкоксона с учётом сдвига:

 

Sign Test (Spreadsheet1) Marked tests are significant at p <,05000

	No. of	Percent	Z	p-level
X & Y-Teta	9	55,55556	0,000000	1,000000

 

Wilcoxon Matched Pairs Test (Spreadsheet1) Marked tests are significant at p <,05000

	Valid	T	Z	p-level
X & Y-Teta	10	19,00000	0,414644	0,678403

 

Так как значения статистик Фишера и Вилкоксона больше 0,05, следовательно, оценка сдвига  адекватна.

Найдём доверительный интервал для эффекта обработки с доверительной вероятностью γ=0,95. Вычислим . Находим границы доверительного интервала .

 

Выполнение задания 5

Имеем независимые совокупности.

Проверим гипотезу (об однородности распределения совокупности до и после обработки) с помощью критерия . Получаем , . , следовательно, гипотезу об однородности распределения совокупности до и после обработки принимаем.

Wald-Wolfowitz Runs Test (Spreadsheet2.sta) By variable 2 Marked tests are significant at p <,05000

	Valid N - Group 1	Valid N - Group 2	Mean - Group 1	Mean - Group 2	Z	p-level	Z adjstd	p-level	No. of - Runs	No. of - ties
1	10	8	8,500000	6,750000	0,054708	0,956371	-0,191478	0,848151	10	5

 

Kolmogorov-Smirnov Test (Spreadsheet2.sta) By variable 2 Marked tests are significant at p <,05000

	Max Neg - Differnc	Max Pos - Differnc	p-level	Mean - Group 1	Mean - Group 2	Std.Dev. - Group 1	Std.Dev. - Group 2	Valid N - Group 1	Valid N - Group 2
1	-0,025000	0,450000	p > .10	8,500000	6,750000	2,173067	2,492847	10	8

 

Mann-Whitney U Test (Spreadsheet2.sta) By variable 2 Marked tests are significant at p <,05000

	Rank Sum - Group 1	Rank Sum - Group 2	U	Z	p-level	Z - adjusted	p-level	Valid N - Group 1	Valid N - Group 2	2*1sided - exact p
1	114,0000	57,00000	21,00000	1,688194	0,091375	1,701415	0,088866	10	8	0,101102

 

0,848>0,05, 0,1>0,05, 0,089>0,05, следовательно, гипотезу  принимаем.

Дисперсионный анализ