Двухфакторный непараметрический дисперсионный анализ

Непараметрический двухфакторный дисперсионный анализ - обобщение схемы повторных парных наблюдений, когда имеется k наблюдений на каждом из n объектов.

Исходные данные:

 

 

Рассмотрим модель , где µ - неизвестная общая средняя;  - влияние i-го наблюдения на значение количественного признака; τj - эффект j-го «наблюдения»; eij - случайные величины.

При этом , , а все eij - взаимонезависимы, извлечены из одной и той же генеральной совокупности.

Ставится задача: проверить, являются ли распределения k независимых случайных величин однородными. Для этого выдвигается гипотеза

Если альтернативная гипотеза имеет вид , то для проверки нулевой гипотезы используются критерий Фридмана.

 

,

 

где - ранг i-го объекта по j-му признаку. Критерий Фридмана при справедливости Н0 аппроксимируется распределением «Хи-квадрат» с числом степеней свободы n-1.

Если альтернативная гипотеза , где хотя бы одно из неравенств строгое, то для проверки нулевой гипотезы используется критерий Пейджа.

 

Выполнение задания 6

С помощью программы STADIA проверим гипотезу Н0: стаж работы не влияет на производительность рабочего. Получим следующие результаты:

-ФАКТОРНЫЙ ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ. Файл:

Пропущн=3 3

параметрический

Источник Сум.квадр Ст.своб Ср.квадр F Значимость Сила влияния

Факт.1 391,5 3 130,5 10,54 0,0018 0,2091

Остат. 136,2 11 12,38

Общая 527,7 14 37,7(фактор1)=10,54, Значимость=0,0018, степ.своб = 3,11

Гипотеза 1: <Есть влияние фактора на отклик>

Параметры модели:

Среднее = 154,5, доверит.инт.=8,651

Эффект1 = -4,867, доверит.инт.=15,82

Эффект2 = -4,783, доверит.инт.=13,7

Эффект3 = 1,667, доверит.инт.=12,25

Эффект4 = 8,467, доверит.инт.=15,82

Парные сравнения Шеффе

Переменные Разность Интервал Значим Гипотеза H1

-2 0,08333 8,802 0,9999

-3 6,533 8,416 0,1508

-4 13,33 9,41 0,006413 Да

-3 6,45 7,731 0,1143

-4 13,25 8,802 0,004314 Да

-4 6,8 8,416 0,1297

До 5, 5-10 - 10-15, 15-20: 9,892 7,031 0,006076 Да

Следовательно, гипотезу Н0 отвергаем.

Найдём оценку остаточной дисперсии. Сначала вычислим . Затем найдём несмещённую оценку остаточной дисперсии: . Затем с доверительной вероятностью γ=0,99 найдём доверительный интервал для остаточной дисперсии. Получаем интервал [5,09; 52,37].

Воспользуемся КОП «Дисперсионный анализ».

Предположим, что фактор имеет случайные уровни (α=0,05).

Однофакторный дисперсионный анализ

Нулевая гипотеза: альфа j=0

-----------мещенные оценкифакт = 391,517; Q ост = 136,217; Q общ = 527,733

-------------

Неcмещенные оценкифакт = 130,506; S ост = 12,383

-------------наблюденное = 10,539критическое = 3,59

-----------

Нулевая гипотеза отвергается, есть влияние фактора

Предположим, что фактор имеет фиксированные уровни (α=0,01).

Однофакторный дисперсионный анализ

Нулевая гипотеза: дисперсия альфа =0

-----------мещенные оценкифакт = 391,517; Q ост = 136,217; Q общ = 527,733

-------------

Неcмещенные оценкифакт = 130,506; S ост = 12,383

-------------наблюденное = 10,539критическое = 6,22

-----------

Нулевая гипотеза отвергается, есть влияние фактора

При α=0,05 проверим гипотезу о существенности влияния фактора на втором и третьем уровнях на результативный признак, т.е, гипотезу о равенстве математических ожиданий второй и третьей группы наблюдённых значений. . . Fнабл=7,47, Fкр(0,05;1;11)=4,84 следовательно, гипотезу H0 отвергаем на данном уровне значимости.

Затем при α=0,05 проверим гипотезу о значении математического ожидания: H0:m=m0=155 ( ). Будем строить двухстороннюю критическую область.

Для модели М1 имеем:. Fнабл=0,26, Fкр(0,05;1;11)=4,84, следовательно, гипотезу H0 принимаем на данном уровне значимости.

Для модели М2 имеем:. Fнабл=0,025, Fкр(0,05;1;11)=10,13, следовательно, гипотезу H0 принимаем на данном уровне значимости.

 

Выполнение задания 7

Проверим гипотезу о влиянии факторов на результативную переменную при различных комбинациях случайности/фискированности факторов с помощью КОП «Дисперсионный анализ».

Оба фактора имеют случайные уровни:

Двухфакторный (бесповторный)дисперсионный анализ

 

Н0 (влияние А): дисперсия (А)j=0H0(влияние В): дисперсия(В)i=0

 

-----------мещенные оценки (фактор А)факт = 10,889; Q ост = 64,444; Q общ = 258,222

-------------

Неcмещенные оценкифакт = 5,444; S ост = 10,741

-------------наблюденное = 0,507критическое = 10,92

Нет оснований отвергнуть гипотезу об отсутствии влияния фактора А

-----------мещенные оценки (фактор В)факт = 182,889; Q ост = 64,444; Q общ = 258,222

-------------

Неcмещенные оценкифакт = 91,444; S ост = 10,741

-------------наблюденное = 8,514критическое = 10,92

-----------

Нет оснований отвергнуть гипотезу об отсутствии влияния фактора B

При остальных комбинациях случайности/фиксированности факторов получаем те же оценки смещённых и несмещённых оценок дисперсий, критических и наблюдённых значений статистики Фишера, меняются только нулевые гипотезы.

Фактор А имеет случайные уровни, фактор В - фиксированные уровни:

Двухфакторный (бесповторный)дисперсионный анализ

 

Н0 (влияние А): дисперсия (А)j=0Н0(влияние В): альфа(В)i=0

 

-----------

Нет оснований отвергнуть гипотезу об отсутствии влияния фактора А

-----------

Нет оснований отвергнуть гипотезу об отсутствии влияния фактора B

Фактор А имеет фиксированные уровни, фактор В - случайные уровни:

Двухфакторный (бесповторный)дисперсионный анализ

 

Н0 (влияние А): альфа(А)j=0Н0(влияние В): дисперсия(В)i=0

 

-----------

Нет оснований отвергнуть гипотезу об отсутствии влияния фактора А

-----------

Нет оснований отвергнуть гипотезу об отсутствии влияния фактора B

Оба фактора имеют фиксированные уровни:

Двухфакторный (бесповторный) дисперсионный анализ

логлинейный модель гипотеза дисперсионный

Н0 (влияние А): альфа(А)j=0Н0(влияние В): альфа(В)i=0

 

-----------

Нет оснований отвергнуть гипотезу об отсутствии влияния фактора А

-----------

Нет оснований отвергнуть гипотезу об отсутствии влияния фактора B

 

Выполнение задания 8

Проверим гипотезу  (об однородности распределения совокупностей) на основе критерия Краскелла-Уоллиса в программном пакете Statistica:

 

Kruskal-Wallis ANOVA by Ranks; immuno (Spreadsheet1) Independent (grouping) variable: Group № Kruskal-Wallis test: H ( 3, N= 30) =12,38319 p =,0062

	Code	Valid	Sum of
1	1	5	35,5000
2	2	7	101,5000
3	3	8	101,0000
4	4	10	227,0000

 

Так как p=0,0062<0,05, гипотезу об однородности распределения отвергаем.

 

Выполнение задания 9

Проверим гипотезу  (об однородности распределения совокупностей) на основе критерия Фридмана в программном пакете Statistica:

 

Friedman ANOVA and Kendall Coeff. of Concordance (Spreadsheet6) ANOVA Chi Sqr. (N = 3, df = 3) = 8,111111 p = ,04377 Coeff. of Concordance = ,90123 Aver. rank r = ,85185

	Average	Sum of	Mean	Std.Dev.
Plenka1	2,000000	6,00000	2,000000
Plenka2	1,166667	3,50000	1,333333	0,577350
Plenka3	3,833333	11,50000	3,333333	0,577350
Plenka4	3,000000	9,00000	2,666667	0,577350

 

p=0,04377<0,05, следовательно, гипотезу об однородности распределения отвергаем.