Двухфакторный дисперсионный анализ

Будем исследовать влияние двух факторов А и В на результативный нормально распределенный признак Y; , ; , - уровни факторов. Рассмотрим два случая.

I. Пусть каждой паре уровней факторов  и  соответствует одно наблюдаемое значение результативного признака , то есть наблюденные значение можно представить в виде таблицы с двумя входами.

Таблица 3.1

В этом случае модель дисперсионного анализа будем рассматривать в виде: , где а - общая генеральная средняя;  - независимые нормально распределенные остатки, с  и , ; ;  - отклонения от а, обусловленные влиянием соответствующих уровней факторов А и В.

Если уровни факторов  и фиксированные (модель М1), то  и  есть неслучайные величины, удовлетворяющие очевидным условиям ; .

Нулевые гипотезы формулируются в виде:

Н0: , ; Н0: , ;

Если уровни факторов  и  случайные, то  и  будем считать независимыми между собой и с  случайными величинами распределенными нормально с  и ; . Отсутствие влияния уровней факторов на изменения результативного признака - нулевые гипотезы - формально записывается в виде:

Н0: ; Н0: .

Если уровни фактора А - случайные, а В - фиксированные (смешанная модель), то  независимые между собой и с  случайные величины с , ;  - неслучайные величины, удовлетворяющие условию . Нулевые гипотезы об отсутствии влияния уровней факторов на изменения результативного признака формулируются в виде:

Н0: ; Н0: , .

Аналогично строится смешанная модель, в которой фактор А имеет фиксированные уровни, а фактор В - случайные.

Построим разложение:

где ; ;

Для проверки нулевой гипотезы об отсутствии влияния одного из факторов  рассматриваем статистику , (где ), распределенную, очевидно, по закону Фишера-Снедекора с  и  степенями свободы.

II. В общем случае, когда для каждой пары уровней  и  имеется n ( n >1) наблюдений.

Модель дисперсионного анализа представим в виде , , , где  - к-ое наблюдение результативного признака для i-го уровня фактора А и j-го уровня фактора В; а - общая генеральная средняя;  - отклонения от а, обусловленные влиянием соответствующих уровней А i и В j;  - отклонения от а, обусловленные совместным влиянием уровней факторов А и В;  и независимы между собой.

Если уровни факторов А i и В j фиксированные (модель М1), то отклонения  и  - неслучайные величины, удовлетворяющие условиям: ; ; ; .

Сформулируем гипотезы об отсутствии влияния:

фактора А - Н0: ;   ; фактора В - Н0: ; ;

совместного влияния факторов А и В - Н0: ; ; .

В случае модели М2  и  есть независимые между собой и с  случайные величины, распределенные нормально с нулевым математическим ожиданием и с дисперсиями ,  и . Сформулируем нулевые гипотезы от отсутствии влияния:

фактора А - Н0: ; фактора В - Н0: ;

совместного влияния факторов А и В - Н0: .

Для смешанной модели, когда, к примеру, уровни фактора А случайные, а фактора В - фиксированные, отклонения  и  независимые между собой и с нормально распределены случайные величины с нулевыми математическими ожиданиями, с дисперсиями  и , при этом , а ; .

Нулевые гипотезы об отсутствии влиянием факторов имеют вид:

фактора А - Н0: ; фактора В - Н0: ; ;

совместного влияния факторов А и В - Н0: .`

Аналогично строится другая смешанная модель. Разложив, как и при n =1, общую сумму квадратов на составляющие:

, ; ;

Приведем в нижеследующей таблице схему проверки основных гипотез для различных моделей двухфакторного дисперсионного анализа.