Параметрический дисперсионный анализ

Дисперсионный анализ предназначен для проверки наличия зависимости нормально распределенной результативной случайной величины Y от нескольких факторов (факторных величин), а именно для выявления причинно-следственной связи между вариацией факторов и вариацией результативных признаков. Суть дисперсионного анализа состоит в разложении дисперсии признака на составляющие, обусловленные влиянием конкретных факторов и проверке гипотез о значимости их влияния. Модели дисперсионного анализа будем классифицировать:

1) в зависимости от числа факторов - на однофакторные, двухфакторные и т.д.;

2) по природе факторов - на детерминированные (М1), случайные (М2) и смешанные, в зависимости от того какими являются уровни факторов.

Однофакторный анализ

Пусть требуется проверить наличие влияния на результативный признак одного контролируемого фактора А, имеющего m уровней , . Наблюдаемые значения результативного признака Y на каждом из фиксированных уровней  обозначим , , где  - число объектов наблюдения. Любое наблюдение  можно представить в виде

, , ,

где а - генеральная средняя результативного признака;  - влияние (эффект) фактора на j-ом уровне;  - случайные величины (остатки), отражающие влияние на Y всех неконтролируемых факторов.

Относительно  будем предполагать, что они распределены нормально и удовлетворяют следующим условиям: ;  или ;  - остаточная дисперсия.

В зависимости от изучаемой модели относительно  предполагаем: модель М1 -  - фиксированные величины, такие что  и основная гипотеза H 0: , то есть нет влияния фактора А на Y;

модель М2 -  - случайные величины, удовлетворяющие условиям - ; ; ;  - факторная дисперсия. Основная гипотеза H 0: : нет влияния фактора А на Y .

Для проверки основной гипотезы дисперсионного анализа, утверждающей, что нет влияние фактора А (уровней фактора А) на изменение результативного признака, вычислим следующие статистики

 - групповые средние (средние уровней );

 - общая средняя результативного признака,

где .

Определим две дисперсии: межгрупповую (дисперсию групповых средних) или факторную, обусловленную влиянием изучаемого фактора и внутригрупповую (остаточную), величина которой рассматривается как случайная. Необходимые суммы квадратов отклонений обозначим:

 - факторная сумма квадратов отклонений;

- остаточная сумма квадратов отклонений;

- общая сумма квадратов отклонений.

Легко проверить

Несмещенные оценки общей, факторной и остаточной дисперсий

; ; .

Если влияние фактора отсутствует, то  и  можно рассматривать как независимые оценки дисперсии  всей совокупности. Наоборот, если фактор оказывает существенное влияние на результативный признак, то отношение : будет расти и превзойдет некоторый критический предел. Таким образом, первоначальную гипотезу Н0 можно заменить такой Н0:  = . Для проверки нулевой гипотезы рассмотрим статистику:

,

распределенную, очевидно, по закону Фишера-Снедекора со  и степенями свободы. Если , то гипотеза не отвергается, то есть влияние фактора А на результативный признак не доказано. Если , то Н0 отвергается и с вероятностью ошибки можно утверждать: влияние фактора А на результативный признак существенно.

Если влияние фактора доказано, то можно проверить гипотезы:

1) Н0:  - о равенстве двух средних выбранных уровней с помощью статистики

,

распределенной по закону Фишера-Снедекора с  и

2) При проверке гипотезы Н0: а=а0 используется:

в случае модели М1 статистика , имеющая F - распределение с  и ;

в случае модели М2 и  статистика , имеющая F - распределение с  и .

Несмещенную точечную оценку для факторной дисперсии, в случае отклонения нулевой гипотезы, можно уточнить .

Интервальная оценка для  с надежностью

.