Концепция эконометрического моделирования

БАЛТИЙСКИЙ ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И ФИНАНСОВ

(БИЭФ)

Ю.Я. Настин

Эконометрика

Учебное пособие

 

 

Калининград, 2004

 

 

ББК 65в6

Автор: Юрий Яковлевич Настин, канд. экон. наук, доцент

Рецензент: Владимир Алексеевич Дмитровский, канд. физ.-мат. наук, доцент.

Учебное пособие посвящено эконометрическим методам и моделям. По содержанию соответствует требованиям образовательного стандарта для студентов вузов специальностей 060500 "Бухгалтерский учет, анализ и аудит" и 060400 "Финансы и кредит".

В пособии основное внимание уделено математическим методам и меньшее - прикладным моделям, что обусловлено стремлением не допустить разрастания объема и чрезмерного усложнения материала.

Может быть использовано в учебном процессе и для системы повышения квалификации специалистов, занимающихся анализом и прогнозированием социально-экономических процессов, маркетинговыми исследованиями.

 

Печатается по решению Ученого совета БИЭФ, протокол №1 от 29 января 2004 г.

 

Ó БИЭФ, 2004.

Ó Настин Ю.Я., 2004.

Содержание

Введение................................................................................................................................ 4

 

1. Основные понятия эконометрики............................................................................... 8

1.1. Концепция эконометрического моделирования.................................................................. 8

1.2. Данные наблюдений для эконометрического моделирования.......................................... 11

1.3. Линейная регрессионная модель...................................................................................... 13

1.4. Модель в форме системы одновременных уравнений..................................................... 14

1.5. Этапы эконометрического моделирования....................................................................... 14

 

2. Парный регрессионный анализ.................................................................................... 17

2.1. Линейная парная регрессия.............................................................................................. 17

2.2. Связь коэффициентов регрессии и корреляции............................................................... 19

2.3. Основные положения регрессионного анализа................................................................ 20

2.4. Качество оценок параметров b_o, b₁ и s²: теорема Гаусса-Маркова и метод максимального правдоподобия.............................................................................................. 21

2.5. Доверительный интервал для функции регрессии............................................................ 23

2.6. Доверительный интервал для индивидуальных значений ............................................ 24

2.7. Доверительный интервал для параметров регрессии...................................................... 25

2.8. Оценка значимости уравнения регрессии......................................................................... 25

 

3. Множественный регрессионный анализ.................................................................... 27

3.1.Классическая нормальная линейная модель множественной регрессии........................... 29

3.2. Оценка параметров классической множественной регрессионной модели МНК.............. 30

3.3. Сравнение влияния объясняющих переменных................................................................ 31

3.4. Выборочные оценки и доверительные интервалы............................................................ 32

3.5. Оценка значимости и адекватности множественной регрессии......................................... 34

 

4. Практические вопросы построения регрессионных моделей 35

4.1. Мультиколлинеарность и отбор значимых факторов....................................................... 36

4.2. Линейные регрессионные модели с атрибутивными факторами....................................... 39

4.3. Критерий Чоу: объединение регрессий............................................................................ 40

4.4. Нелинейные регрессионные модели: классификация и примеры...................................... 40

4.5. Функции эластичности...................................................................................................... 41

4.6. Производственная функция Кобба-Дугласа...................................................................... 43

4.7. Частные коэффициенты корреляции................................................................................ 43

 

5. Регресионные модели временных рядов и прогнозирование 46

5.1. Структура и классификация временных рядов................................................................. 46

5.2. Автокорреляционная функция.......................................................................................... 47

5.3. Сглаживание временного ряда и прогнозирование........................................................... 48

 

6. Обобщенная линейная модель множественной регрессии 52

6.1. Признаки обобщенной линейной модели.......................................................................... 52

6.2. Обобщенный метод наименьших квадратов..................................................................... 53

6.3. Сущность и последствия гетероскедастичности.............................................................. 54

6.4. Тесты на гетероскедастичность........................................................................................ 55

6.5. Устранение гетероскедастичности взвешенным МНК........................................................ 57

6.6. Автокорреляция остатков временного ряда и тесты на ее наличие.................................. 58

6.7. Идентификация временного ряда и устранение автокорреляции..................................... 60

 

7. Регрессионные динамические модели...................................................................... 63

7.1. Последствия и причины стохастичности регрессоров..................................................... 63

7.2. Устранение коррелированности регрессоров и ошибок методом инструментальных переменных............................................................................................... 64

 

Приложение 1....................................................................................................................... 66

 

Приложение 2....................................................................................................................... 79

 

Библиографический список.............................................................................................. 82

Введение

 

Эконометрика как отрасль науки появилась в первой четверти ХХ века и дословно означает “экономические измерения”. Появление эконометрики соответствовало общей тенденции развития экономического знания, хорошо охарактеризованной в работе [5, с.6]: “Язык экономики все больше становится языком математики, а экономику все чаще называют одной из наиболее математизированных наук”.

За прошедшее столетие развития эконометрики сложилось достаточно однозначное понимание содержания (предмета и метода) этой науки. Оно отражено в образовательном стандарте, в соответствующих учебниках и пособиях. В экономической литературе высказывается такая точка зрения на место эконометрики в современой экономике: современная экономика в состав экономической теории включает четыре дисциплины: макроэкономику, микроэкономику, мировую экономику и эконометрику.

Еще одно представление о содержании эконометрики дает ее характеристика как интегральной области знаний: эконометрика является синтезом экономики, математики, статистики и информатики.

При изучении и практическом использовании эконометрики студенты встречаются как минимум с пятью трудностями.

Первая трудность является следствием интегрального характера дисциплины, поэтому и учебники пишут различные специалисты. Экономисты пишут содержательно и понятно, но в основном о прикладной стороне вопроса, а суть математического аппарата остается нераскрытой. Математики пишут математически корректно, раскрывают тонкости методов, но непонятно – какое отношение все это имеет к экономике. Наконец, есть учебники, которые совмещают в себе оба направления, но в таком случае растет объем материала.

Вторая трудность обусловлена тем, что эконометрика как учебная дисциплина в российских вузах появилась всего 10-12 лет назад, и поэтому отсутствуют традиции, сложившиеся отечественные школы, устоявшаяся учебная литература.

Третья трудность изучения эконометрики вытекает из традиционно слабой подготовки экономистов в области теории вероятностей, математической статистики, теории случайных процессов и математики в целом. Не преодолена точка зрения на второстепенность такой подготовки для экономистов, хотя это и противоречит опыту экономического образования в развитых странах. Слабая подготовка не позволяет эффективно применять математико-статистический аппарат в практической деятельности, а для молодых специалистов это служит подтверждением ненужности такой подготовки – образовался порочный замкнутый круг. Поэтому при работе с этим пособием читателям придется вспомнить некоторые разделы из математического цикла дисциплин. Мы рекомендуем проработать Прилож. 1 и 2: основные понятия теории вероятностей и математической статистики и элементы матричной алгебры.

Четвертая трудность изучения эконометрики обусловлена тем, что отечественные школы математической статистики и эконометрики находятся в процессе перехода на международную (англизированную) систему понятий и обозначений, а разные учебники и пособия отражают разные этапы на этом пути. Ясно, что это создает "вавилонское столпотворение", которое затрудняет использование различных источников, требует знания английского языка. В настоящем пособии мы старались следовать понятиям и обозначениям [5].

Пятая трудность возникает при использовании эконометрических знаний в практической деятельности. Оказывается, что знания всех тонкостей теории не помогают решать конкретные задачи, если в вашем распоряжении нет современного эконометрического пакета прикладных программ вместе с компьютером. Таким образом, эконометрист обязательно должен быть опытным пользователем компьютера.

Последнее обстоятельство очень важно при изучении эконометрики. Математическая громоздкость методов, многократная проверка гипотез, многовариантность вычислительных процедур создают ощущение невозможности – неэффективности - практического их использования. Однако это не так. Компьютерные технологии снимают все вычислительные трудности. Это в полной мере относится, например, и к применению аппарата матричной алгебры. Если раньше его ценили только за аналитичность и компактность представления, а вычислительный аспект оставался в стороне, то сейчас матричные выражения прямо записываются на языке пакета программ как обычные арифметические выражения. Язык матричной алгебры благодаря компьютеру стал и мощным языком вычислений.

 

Перечень сокращений

 

ЗР	- закон распределения
КЛММР ЛММР	- классическая ЛММР - линейная модель множественной регрессии
МЛР	- множественная линейная регрессия
ММЛР	- модель множественной линейной регрессии
ММП	- метод максимального правдоподобия
МНК	- метод наименьших квадратов
МО	- математическое ожидание
НЗР	- нормальный ЗР
НЗРСВ	- НЗР СВ
ОЛММР СВ	- обобщенная ЛММР - случайная величина
СКО	- среднее квадратическое отклонение
ФР	- функция распределения
ФРСВ AR(p) MA(q) ARMA(p,q)   DL(p)   ADL(p,q)	- ФР СВ - авторегрессионная модель р-го порядка (autoregressive) - модель скользящей средней q-го порядка (moving average) - авторегрессионная модель скользящей средней порядков р и q (autoregressive moving average) - модель с распределенными лагами порядка р (distributed lags) - авторегрессионная модель с распределенными лагами порядков р и q (autoregressive distributed lags)

Перечень обозначений
n	- длина выборки
p	- число переменных в уравнении регрессии
åxi	- суммирование по индексу i от 1 до n
Пxi	- перемножение по индексу i от 1 до n
Х	- если по тексту вектор, то это вектор-столбец. Это касается и любых других идентификаторов
Х’	- вектор-строка (штрих - операция транспонирования)
М(Х)	- математическое ожидание СВ Х
b1, b2, ... , b р	- истинные (всегда неизвестные) параметры регрессии
b1, b2, ... , b р	- оценки истинных значений параметров регрессии
Nх(a, s)	- нормальный закон распределения СВ Х с параметрами МО=а, СКО=s
a	- уровень значимости критерия - вероятность совершить ошибку 1-го рода: отвергнуть истинную гипотезу Но (обычно принимается a=0,05)

 

b	- вероятность совершить ошибку 2-го рода: принять неверную основную гипотезу Но
g=1-b	- вероятность отвергнуть неверную гипотезу Но - мощность критерия
Прописные латинские	- имена переменных. Часто вектор или матрица.
Строчные латинские	- значения переменных. Для соответствующих греческих букв – выборочные значения параметров (b, e, s и пр.)
Строчные греческие	- имена переменных и теоретические значения параметров (b, e, s и пр.)

Основные понятия эконометрики

Концепция эконометрического моделирования

Моделирование как метод познания было осознано только в начале ХХ века. В физико-технических дисциплинах начали широко применяться вещественные модели (судов, автомобилей и т.п.), результаты экспериментов с которыми на основе теории подобия переносились на оригиналы.

Показателен случай, произошедший в Англии, когда некий инженер на основе изучения поведения модели строящегося корабля в бассейне предсказал, что при спуске на воду корабль перевернется. Ему не поверили, но так и случилось. По этому поводу в Лондоне была установлена мемориальная доска с надписью: вечному порицанию невежества лордов адмиралтейства.

В экономике основой моделирования преимущественно явились знаковые модели - математические, а с середины ХХ века - еще и программно-компьютерные.

В самом общем виде модель - это мысленно представляемая или материально реализованная система, которая отображает (воспроизводит) объект исследования так, что ее изучение дает нам новые знания об этом объекте. Знаковую модель можно мыслить как теорию данного объекта: формальную или неформальную, полную или неполную, достоверную или недостоверную, противоречивую или непротиворечивую, с меньшей или с большей предсказательной силой, описательную или объяснительную, эмпирическую или теоретическую.

Математической моделью называют знаковую модель, элементами которой являются математические объекты-знаки (числа, переменные, функции, векторы, матрицы и пр.) и математические отношения между ними (сложение, дифференцирование, быть параллельными и пр.). Моделированием называют процесс исследования объекта познания на его моделях (или самих моделей), а также сам процесс построения моделей.

Существует много оснований для классификации моделей, например:

- по природе моделируемых явлений - экономические, экологические, производственные, социальные, политические и пр.;

- по форме представления - математические, механические, компьютерные и пр.;

- по воспроизводимым свойствам объектов моделирования - поведенческие, структурные, функциональные и пр.;

- по отношению ко времени - статические (время в явном виде не присутствует) и динамические;

- по свойству детерминированности либо стохастичности.

В эконометрике в основном рассматриваются объекты, которые можно представить в виде “черного ящика” (рис.1.1). Черный ящик имеет входы и зависящие от них выходы. Мы не знаем, как в действительности выходы зависят от входов. Но зато мы имеем статистические данные наблюдений по входам и выходам. На этом основании мы и строим “поведенческую” модель, достаточно хорошо (“похоже”) связывающую функционально зависимость выходов от входов. Чаще всего такой моделью является линейная функция с несколькими переменными.

Классифицируем подобную типичную эконометрическую модель. Она будет: экономическая, математическая, поведенческая, статическая или динамическая, детерминированная (хотя моделируемое явление - стохастическое).

 

		W
X			f(X)
				Y=f(X)+ e
Z		e

Рис. 1.1. Эконометрическая модель как черный ящик

 

Охарактеризуем типы переменных черного ящика:

- Х = (X₁, X₂,..., X_p) - вектор наблюдаемых, входных, существенных и потому объясняющих переменных (факторов, регрессоров, предикторов);

- Z = (Z₁, Z₂,..., Z_r) - вектор наблюдаемых, входных, несущественных переменных-факторов;

- W = (W₁, W₂,..., W_s) - вектор ненаблюдаемых, входных, несущественных переменных-факторов;

- Y - скаляр - наблюдаемая, выходная (целевая, результирующая, объясняемая) переменная;

- e - скаляр - наблюдаемая при исследовании модели и ненаблюдаемая при использовании модели (например, при прогнозировании мы не можем точно знать ошибку) выходная случайная величина - ошибка, возмущение.

Переменная Y является случайной величиной (СВ) с условной плотностью вероятностей f _{x1, x2, ... , xp}(y). Обычно делается предположение о ее нормальности (распределена по нормальному - гауссовому - закону распределения), что позволяет проводить более глубокий анализ качества эконометрической модели.

Объясняющие переменные X₁, X₂, ... , X_p могут быть как случайными, так и детерминированными. Различие между ними часто условно. Например, для пассажира интервал времени между поездами, отправляющимися с Северного вокзала на г. Светлогорск, есть СВ, а для диспетчера - строго детерминированная, предопределенная расписанием.

Классическая эконометрическая модель рассматривает вектор Х как детерминированный, однако основные результаты исследования модели остаются теми же и для случайного Х.

Таким образом, эконометрическая модель имеет вид:

 

Y=f(X1, X2, ... , Xp) + e.

(1.1)

 

В качестве представителя СВ Y естественно взять ее математическое ожидание (МО). В нашем случае мы имеем дело с условным математическим ожиданием СВ Y: М_{x1, x2, ... , xp}(Y). Как видно, М_х(Y) - так для краткости будем обозначать условное МО - является детерминированной функцией от р переменных.

Уравнение М_х(Y)=f(x₁, x₂, ... , x_p) называется уравнением регрессии. Таким образом, эконометрическая модель всегда (за исключением особых случаев) является регрессионной моделью. Обычно для любого набора значений объясняющих переменных Х при взятии математического ожидания от обеих частей (1.1) будем иметь М(e)=0 - в регрессионной модели математическое ожидание случайной ошибки равно нулю. Иначе говоря, e - центрированная СВ.

В качестве примера приведем регрессионную модель, отображающую зависимость объема потребления Y от уровня дохода Х (ден.ед./год), предложенную шведским экономистом Л. Торнквистом. Модель состоит не из одной, а из трех различных функций и дополнительного условия баланса (рис.1.2).

 

 

Y
					y3
β0						y2
	y1
						X

 

Рис. 1.2. Эконометрическая модель связи потребления Y и дохода X

 

Для предметов 1-й необходимости (питание, одежда, жилье и пр):

 

.

(1.2)

 

Некоторые свойства функции у₁, которые отражают смысл явления:

- при доходе х, близком к нулю, у₁ идет вдоль биссектрисы: все доходы расходуются на предметы первой необходимости: у₁»х,

- при заметном росте доходов х потребление у₁ асимптотически приближается к пределу: у₁ =b_о .

Для предметов средней необходимости (газеты, пылесос, стиральная машина и пр):

 

.

(1.3)

 

Свойства функции у₂:

- расходы на предметы средней необходимости начинаются (у₂>0) при уровне доходов х > b₁, поэтому у₂ (и у₃ по этой же причине) требует доопределения;

- при значительном росте доходов х потребление у₂ асимптотически приближается к тому же пределу у₂ =b_о;

- из второго свойства вытекает: пределы расходов на предметы первой и средней необходимости равны между собой (это частный случай конкретной экономики).

Для предметов роскоши (предметы искусства, драгоценности, престижный дом и пр.):

 

.

(1.4)

 

Свойство функции у₃:

- расходы у₃ на предметы роскоши при неограниченном увеличении доходов х также неограниченно увеличиваются.

Теперь заметим, что если доходы х расходуются только на цели у₁, у₂, у₃, то сумма последних должна в точности быть равной доходам. Так мы приходим к 4-й - совместной - функции в исследуемой эконометрической модели (см. подробнее параграф 1.3: системы совместных уравнений):

 

у1(х)+ у2(х) +у3 (х) = х.

(1.5)