Исследование математической модели

Ограничимся исследованием режима работы, что установился замкнутой одноканальной системы. Тогда:

(n=0,1,...)

Действительно, вместо системы дифференционных уравнений получаем систему алгебраических уравнений:

Используя полученную систему алгебраических уравнений легко выразить вероятности состояния системы в виде квадратной рекурентной формулы . Из первого уравнения определяется вероятность присутствия одного требования в системе.

Из второго уравнения вероятность присутствия двух требований в системе:

И в результате получаем:

Аналогично проводится преобразование для

И наконец, суммируем полученные значения и находим суму:

Используя формулу геометрической прогрессии, получаем:

и при , сумма:

Откуда мы имеем:

1) вероятность простоя канала обслуживания:

2) находим вероятность того, что в системе находится требований:

3) среднее число требований, которые находятся в системе:

Последняя скобка есть производной от следующего выражения:

,

то есть это выражение равняется:

В результате получаем:

4) Дале находим среднее число требований, которые находятся в очереди:

5) Находим среднее время ожидания требования в системе, который возможно определить, зная среднее число требований, которые находятся в системе:

Задача анализу замкнутой системы с ожиданием (потоки требований Пуассоновские)

Постановка задачи:

Пусть исследуется некоторая система массового обслуживания с ограниченным количеством требований в системе, то есть требования, которые обслуживаются, снова возвращаются в систему обслуживания. Интенсивность поступления одного требования в систему известная и равняется . Интенсивность обслуживания также известная и равняется . Число требований, которые требуют обслуживания. равняется . Необходимо определить основные характеристики системы, а именно – вероятность того, что в системе есть требований - . Вероятность простоя канала обслуживания - .Среднее число требований, которые находятся в очереди - . Среднее число требований, которые находятся в системе - . Среднее время ожидания в очереди - . Среднее время ожидания требования в системе - .

Состояние системы будем связывать с числом требований, которые находятся в системе. При этом возможные два состояния:

1) число требований, которые поступили в систему, равняется нулю ,то есть каналы обслуживания простаивают.

2) число требований , которые поступили в систему .

Зачеркнем размеченный граф состояний одноканальной замкнутой системы массового обслуживания с ожиданием: