Синтез управления системы с неопределенными нелинейностями и внешними неопределенными ограниченными возмущениями
Задача синтеза управления в виде обратной связи по состоянию , стабилизирующего замкнутую систему и подавляющего начальные отклонения и воздействие внешних возмущений в смысле минимальности ограничивающего эллипсоида для выхода z сводится к оптимизации критерия при ограничениях в виде дифференциальных линейных матричных неравенств. В качестве критерия берется след матрицы, определяющей размер инвариантного или ограничивающего выход эллипсоида. Теорема 3.3. Решение задачи при ограничениях , (12) , (13) где минимизация проводится по матричным переменным , скалярной переменной β>0 и скалярному параметру , определяет при каждом матрицу ограничивающего эллипсоида для вектора состояния x(t), матрицу ограничивающего эллипсоида для вектора выхода z(t) системы (3.1) и зависимую от времени матрицу коэффициентов соответствующего регулятора по состоянию . Если, кроме того, матрица удовлетворяет дополнительно ограничениям и для всех , где R и S(t) – заданные положительно определенные симметрические матрицы, то искомый регулятор обеспечивает ограниченность замкнутой системы относительно множеств [E(R), Ew(I), E(S(t))] при всех нелинейностях из (3.2). В случае неполного измерения вектора состояния для реализации закона управления в виде обратной связи по состоянию могут быть использованы наблюдатели состояния, рассмотренные в п.2.1 и 2.2. Рассмотрим снова пример из п.3.1, в котором вместо конкретной нелинейности присутствует неопределенная нелинейность , удовлетворяющая неравенству (3.2) с параметрами и и . Ниже представлен текст программы на входном языке пакета MatLab для синтеза регулятора по состоянию на основе решения задачи оптимизации с линейными матричными неравенствами % Пример синтеза, оценивания состояния и моделирования %--Исходные данные -- модель с неопределенными нелинейностями и возмущениями % Параметры регулятора u=k1x2+k2x4 % вектор состояния x=(x1,x2)T n=2; n1=n; %параметры w=0.5; mu1=1; %--матрицы системы--- A = [0 1; 0 0]; B1 = [0; 1]; D=[0; 1]; C=[1 0;0 1;0 0]; B2=[0; 0;1]; F=[0; -w*w]; CF=[1; 0]; eig(A) % Синтез регулятора по состоянию на основе решение линейных матричных % неравенств step = 0.1; begin_val = 0.4;%0.1;% end_val = 2.0;%0.2;%-min(eig(A-B*K)); min_tr_Q = 1000000; figure (1) % Оптимизация по параметру q путем перебора с уменьшающимся шагом while step>0.001 for q = begin_val:step:end_val cvx_begin sdp variable Qs(n1, n1) symmetric; variable Zs(1,1) symmetric; variable Ys(1, n1) ; variable bet ; minimize( trace(C*Qs*C'+C*Ys'*B2'+B2*Ys*C'+B2*Zs*B2')) %minimize( trace(Qs)) subject to Qs >= eye(2)*10e-3; [A*Qs + Qs*A'+B1*Ys+Ys'*B1'+q*Qs+bet*(F*F') D Qs*CF; D' -q 0; CF’*Qs 0 -(bet/mu1)]< 0; %условие асимптотической устойчивости [Zs Ys; Ys' Qs]>=0; % [Qs eye(4); eye(4) 1500*eye(4)]>0; %norm(Ys, 'fro')<=1000; cvx_end Qsf = double(Qs) Y=double(Ys) K=Y/Qsf Z=double(Zs); ABK=A+B1*K eig(ABK) %trZ=trace(Qsf); trZ=trace(C*Qsf*C'+C*Y'*B2'+B2*Y*C'+B2*Z*B2'); if min_tr_Q > trZ min_tr_Q = trZ Q_min = Qsf; K_min=K; q_min = q bet_min=bet; end; end; step = step*0.5; begin_val = q_min-2*step; end_val = q_min+2*step; end; Qsf=Q_min K=K_min q=q_min bet=bet_min; ABK=A+B1*K; bet1=bet; ABKI=ABK; beti=bet; С помощью данной программы при q=2.697, β=0.1352 была найдена матрица K=[–9.1806 –5.8861] -коэффициентов регулятора по состоянию. При этом матрица замкнутой системы имеет собственные значения –2.9431±0.7204i -и является гурвицевой. Получена следующая матрица минимального предельного инвариантного эллипсоида: . Также с помощью решения задачи оптимизации с ЛМН была получена матрица максимального инвариантного эллипсоида, лежащего в области притяжения исходной нелинейной системы. Для этого использовался следующий фрагмент программы % Решение линейных матричных неравенств инвариантный эллипсоид из области % притяжения матричной СС (с Регулятором по состоянию) cvx_begin sdp variable Qs(n1, n1) symmetric; minimize(trace(-Qs)) subject to Qs >= eye(2)*10e-2; [ABK*Qs + Qs*ABK'+q*Qs+bet1*(F*F') D Qs*CF; D' -q 0; CF’*Qs 0 -(bet/mu1)]< 0; %условие асимптотич устойчивости cvx_end Qsf1 = double(Qs) E = ellipsoid(Qsf); %pEs = projection(E, BB); plot(E,'b'); hold on;grid on; E = ellipsoid(Qsf1); %pEs = projection(E, BB); plot(E,'r'); hold on;grid on; На рисунке 3.1 показаны минимальный предельный инвариантный эллипс и максимальный инвариантный эллипс из области притяжения исходной системы. Рисунок 3.1. Минимальный предельный инвариантный эллипс (синяя сплошная линия) и инвариантный эллипс из области притяжения (красная сплошная линия) Рисунок 3.2. Сечения эволюционирующего инвариантного эллипса На рисунке 3.2 показаны сечения эволюционирующего инвариантного эллипса, полученные на основе численного интегрирования МСС с начальной матрицей . Частное решение МСС сошлось за T<10c к минимальному инвариантному эллипсу с матрицей . Программа для построения эллипсоидальных оценок с помощью МСС представлена ниже. Q=(Qsf01+Qsf1)/2; vec_Q = [Q(:,1); Q(:,2)]; [t,H] = ode15s(@PravSyntLMI25102014,[0 10],vec_Q); hs = size(H); MQ1 = []; nh=length(H(:,1)) t(nh) nn=1 figure (11) for i = 1:nn:nh MQ1 = [H(i,1) H(i,2); H(i,3) H(i,4)]; MQ1=(MQ1+MQ1')/2; E = ellipsoid(MQ1); %pEs = projection(E, BB); plot(E, 'b');grid on;hold on; end; plot(E, 'r');grid on;hold on; Для вычисления правой части матричной системы сравнения используется следующая функция. function dQ=PravSyntLMI25102014(t,vec_Q) % Вычисление правой части матричной системы сравнения и определение матрицы % коэффициентов усиления регулятора в текущий момент времени global ABK D q bet mu1 F CF Q = [ vec_Q(1) vec_Q(2); vec_Q(3) vec_Q(4)]; dQQ= ABK*Q + Q*ABK' +q*Q+(D*D')/q+bet*(F*F')+mu1*Q*(CF*CF')*Q/bet; dQQ=(dQQ+dQQ')/2; dQ = reshape(dQQ,4,1);
На основе теоремы 3.3 был получен регулятор в виде обратной связи по состоянию с зависимыми от времени коэффициентами усиления. Для этого были решены на интервале [0,10c] ДЛМН (12) с начальной матрицей и с оптимизацией на каждом шаге ограничивающего эллипсоида для выхода при ограничениях ЛМН (13). Текст программы для численного решения ДЛМН (12) с ЛМН (13) с оптимизацией на каждом шаге дискретизации представлена ниже. k=1; kend=200; e=0.1; t(k)=0; figure (2) Q0=Qsf1+[0.5 0;0 2]; KK=[]; while k<kend E = ellipsoid(Q0); % pEs = projection(E, BB); plot(E, 'b');grid on;hold on; t(k)=(k-1)*e; cvx_begin sdp variable Qs(n1, n1) symmetric; variable Zs(1,1) symmetric; variable Ys5(1, n1) ; variable bet5 ; minimize( trace(C*(Q0-Qs*e)*C'+C*Ys5'*B2'+B2*Ys5*C'+B2*Zs*B2')) %minimize( trace(Q0-Qs*e)) subject to Qs >= Q0/4; %(Q0-Qs*e)>=0; [Qs+(A*(Q0-Qs*e)+(Q0-Qs*e)*A'+B1*Ys5+Ys5'*B1'+q*(Q0-Qs*e)+bet5*(F*F')) D (Q0-Qs*e)*CF; D' -q 0; CF'*(Q0-Qs*e) 0 -(bet5/mu1)]< 0; %условие асимптотич устойчивости [Zs Ys5; Ys5' Q0-Qs*e]>=eye(3)*10e-5; cvx_end Qsf5 = double(Qs); Y5=double(Ys5); bet05=double(bet5); betk(k)=bet05; Q0=Q0-Qsf5*e E = ellipsoid(Q0); plot(E, 'b');grid on;hold on; K5=Y5/Q0; KK1(k)=K5(1); KK2(k)=K5(2); ABK5=A+B1*K5; %eig(ABK5); k=k+1; tk=k*e end; E = ellipsoid(Q0); plot(E, 'r');grid on;hold on; figure (7) plot(t,betk,'r');grid on;hold on; plot(t,KK1,'b');grid on;hold on; plot(t,KK2,'g');grid on;hold on;
На рисунке 3.3 показаны эллипсы, являющиеся сечениями в моменты времени tk, k=1,…,200, t1=0, tk+1=tk+0.1 эволюционирующего инвариантного эллипса. Начальный эллипс (k=1) обозначен штрих пунктирной линией, а конечный эллипс (k=200) обозначен сплошной линией. Ему соответствует матрица . Рисунок 3.3. Сечения эволюционирующего инвариантного эллипса для рассматриваемой системы с регулятором, коэффициенты усиления которого зависят от времени. На рисунке 3.4 показаны графики изменения параметра β(t) (сплошной линией), значения которого сначала возрастают, а затем монотонно убывают, и коэффициентов усиления K1(t) и K2(t) регулятора (показаны штриховой и штрих пунктирной линией соответственно). Если после 10с оставить регулятор с постоянными коэффициентами усиления K2=[–17.9843 –6.9976], полученными на последнем шаге, то для рассматриваемой нелинейной системы с таким регулятором, матрица минимального инвариантного эллипса определится . Получена также матрица инвариантного эллипса из области притяжения Рисунок 3.4. Изменение параметра β и коэффициентов усиления регулятора во времени Для реализации закона управления в виде обратной связи по состоянию при неполной информации о векторе состояния следует использовать наблюдатели для получения оценок полного вектора состояний по результатам измерения вектора выхода. Способы построения наблюдателей состояния для систем с неопределенными возмущениями и примеры их использования для реализации законов управления по состоянию представлены в разделе 2.
4. Пример решения задач ограниченности относительно заданных множеств, качества по H¥ критерию и синтеза управления в виде обратной связи по состоянию для простейшей системы с неопределенными нелинейностями и возмущениями Постановка задачи Рассматривается динамическая система, представленная следующей моделью в пространстве состояний в непрерывном случае (4.1) где - вектор состояния, - входное возмущение, - вектор управляемого выхода, - известные матрицы с непрерывными и ограниченными элементами при всех , T>0 заданная константа (при рассмотрении на конечном интервале) или T=¥ (при рассмотрении на бесконечном интервале). Нелинейная векторная функция удовлетворяет условию, заданному в виде: (4.2) где - известная матрица с непрерывными и ограниченными элементами при всех . Здесь и далее означает евклидову норму вектора, - заданный параметр. Предположим, что неопределенные возмущения являются непрерывными ограниченными по L2 норме функциями времени: , (4.3) где и - известные константа и функция времени соответственно. Множество таких функций w обозначим W. Важное отличие от рассмотренного в предыдущих разделах случае является то, что здесь рассматривается другой класс возмущений, т.е. возмущения с конечной энергией (удовлетворяющие интегральному ограничению (4)). Для рассматриваемой системы ставятся задача анализа ограниченности на конечном интервале относительно заданных множеств начальных отклонений и допустимых текущих состояний.
Популярное: Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (718)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |