Оценивание состояния системы с неопределенными нелинейностями и внешними неопределенными ограниченными возмущениями
Оценивание состояния системы (3.1) с нелинейностями из (3.2) и неопределенными возмущениями из (1.5) будет осуществляться в виде эволюционирующего инвариантного эллипсоида, матрица которого будет определяться по частному решению матричной системы сравнения или дифференциальных линейных матричных неравенств. Теорема 3.1. Эллипсоид , где есть решение матричной системы дифференциальных уравнений (3.3) является инвариантным для траекторий системы (3.1), стартующих из начального эллипсоида . Доказательство теоремы 3.1. Определим функцию , . Для любого имеет место . Для того чтобы траектории x(t)= системы (3.1) не покидали эллипсоид , достаточно потребовать, чтобы при , при всех допустимых внешних возмущениях из (1.5) и при нелинейностях из (3.2) выполнялось , где - производная функции в силу системы (3.1). Вычислим . Далее, используя очевидное неравенство , справедливое для любых векторов и любого скаляра или любой непрерывной функции времени , получаем , где - скаляры или непрерывные функции времени. С учетом ограничений на нелинейности (3.2) и внешние возмущения (1.5), а также предположения отсюда имеем: при условии и . Последнее неравенство записывается в виде . Тогда можно выбрать . Будем определять матрицу Q(t) из матричного дифференциального уравнения , где . Умножая это уравнение слева и справа на матрицу Q(t)>0, вводя обозначение и учитывая, что , приходим к уравнению (3.3). Теорема доказана.
Теорема 3.2. Эллипсоид является инвариантным для решений системы (3.1) , если его матрица удовлетворяет дифференциальным линейным матричным неравенствам (ДЛМН) . (3.4) при всех и некоторых . Доказательство теоремы 3.2 аналогично доказательству теоремы 3.1, только определять матрицу Q(t) будем не из уравнения (3.3) а из дифференциального матричного неравенства , (3.5) где , . Воспользовавшись леммой дополнения Шура, из (3.5) имеем Еще дважды воспользовавшись леммой дополнения Шура, приходим к ДЛМН (3.4). Следует отметить, что в автономной линейной системе инвариантный эллипсоид с постоянной матрицей Q*, определяемой на основе решения алгебраического уравнения Ляпунова (или разрешимости ЛМН, полученных из (3.4) при dQ/dt=0) будет являться притягивающим, т.е. множеством, к которому будут стремиться все решения с любыми начальными данными и при внешних возмущениях, удовлетворяющих (1.5). В нелинейной автономной системе инвариантный эллипсоид будет притягивающим только для решений, с начальными данными, принадлежащими области притяжения некоторого предельного множества, которое будет принадлежать указанному инвариантному эллипсоиду. Замечание 3.1. Матричная система дифференциальных уравнений (3.3) является матричной системой сравнения (МСС) для исходной нелинейной системы с неопределенными возмущениями, так как правая часть ее удовлетворяет условию квазимонотонности по Q относительно конуса G+. Поэтому она обладает следующими свойствами: 1). Положительность решений – если (или ), то (соответственно ) для всех . 2) Монотонность решений – для любых таких, что имеет место для всех . В автономном случае – свойствами: 3) Инвариантность множества , где : множество в пространстве матриц G+ положительно инвариантно для решений МСС с . Кроме того, найдется такое, что имеет место . 4) Сходимость решений: если матрица A+BK является гурвицевой, т.е удовлетворяет условию , где - собственные значения матрицы замкнутой системы, а параметр q удовлетворяет условию , то существует предел , к которому сходятся решения но не для любых , как было в случае линейных систем, а только для некоторых . В этом случает матрица будет определять предельный инвариантный эллипсоид для решений исходной системы (1.4) с неопределенными возмущениями из (1.5). Замечание 3.2. Указанные свойства имеют место для любой автономной системы с неопределенными нелинейностями из (3.2) и неопределенными ограниченными возмущениями из (1.5). Так же как в случае линейных систем, они позволяю контролировать процесс получения гарантированных оценок при вычислениях.
Популярное: Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (567)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |